（問１）
解法の方針が立たないということですが
とにかくグラフを書いてみてください。
ここに書けるといいのだけれど・・・

まず、ｋを忘れてください。
①については
ｙ＝ｌｘ+１ｌ+ｌｘ-３ｌのグラフを書きます
ｘ≦－１のとき
ｙ＝－（ｘ＋１）－（ｘ－３）＝－２ｘ＋２
－１＜ｘ＜３のとき
ｙ＝４
ｘ≧３のとき
ｙ＝（ｘ＋１）＋（ｘ－３）＝２ｘ－２

②については
ｙ＝｜ｘ＋８｜のグラフを書きます。
ｘ≦－８のとき
ｙ＝－ｘ－８
ｘ＞－８のとき
ｙ＝ｘ＋８

（１）
ここで、忘れていたｋを思い出します。
ｙ＝ｋ はｘ軸に平行な直線で、ｙ＝４より上にありますね。（ｋ＞４だから）
①と②を同時に満たすｘが存在するということは
①と②の交点（グラフからふたつあることがわかります。）のｘ座標を両端と
するｘ軸上の点であるということになります。
ここでちょっと注意をしなければならないのは
①は ＜ｋ ②は ≦ｋ で、片方に等号があることです。
それで、二つの交点のｘ座標はｘ＝－２，ｘ＝１０となって、
そのときのｙ座標はそれぞれｙ＝６，ｙ＝１８なので
①と②を同時に満たすのは ６＜ｋ≦１８ となります。

（２）
①のみを満たすのは
（１）の結果とグラフを合わせると
４＜ｋ≦６ となります。

（問２）
｜ｘ｜＜ｐ，｜ｙ｜＜ｑとしたときに
－ｐ＜ｘ＜ｐ， －ｑ＜ｙ＜ｑ だから
－ｐ－ｑ＜ｘ＋ｙ＜ｐ＋ｑに確かになりますね。
つまり｜ｘ＋ｙ｜＜ｐ＋ｑってことですよね
でも、これは、単純に変形しないほうがいいです。
実は｜ｘ＋ｙ｜≦｜ｘ｜＋｜ｙ｜という不等式が成り立つからなんです。
証明は簡単です・・・やってみてください。
｜ｘ｜＜ｐ，｜ｙ｜＜ｑで
｜ｘ｜＋｜ｙ｜＜ｐ＋ｑ のとき
｜ｘ＋ｙ｜は ｜ｘ｜＋｜ｙ｜が存在する範囲と等しいか、または、もっと
小さい範囲にあるということなんです。
不等式なのでたまたまその範囲に収まってしまうだけで、もしこれが等式
ならどうなりますか？
ｌａ+ｂｌ+ｌｃ+ｄｌ と ｜ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ｜ は
全く別物であることはすぐにわかりますね。
ａ＝１，ｂ＝１，ｃ＝－１，ｄ＝－１としてみると
ｌａ+ｂｌ+ｌｃ+ｄｌ＝４ ですが
｜ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ｜＝０ となってしまいます。
別な視点で言うと
ｙ＝｜ｘ｜＋１ と
ｙ＝｜ｘ＋１｜ のグラフを書いてみてください
あるいは
＝を不等号に変えて、存在領域を図示してみましょう。