Ａ＝∫(\(e^{a}\)x)(sinbx)dx　とおきます。
(\(e^{a}\)x)＝{(\(\frac{1}{a}\))(\(e^{a}\)x)}'を利用して部分積分を二回繰り返します。
計算に誤りがなければ
Ａ＝(\(\frac{1}{a}\))(\(e^{a}\)x)sinbx-(b/\(a^{2}\))(\(e^{a}\)x)cosbx-(\(b^{2}\)/\(a^{2}\))Ａ
これをＡについて解けば
Ａ＝{1/(\(a^{2}\)+\(b^{2}\))}\(e^{a}\)x(asinbx+bcosbx)となるようです。
質問＜１８８９＞も見てみましょう。