lim t-0\(e^{t}\)-1=1？？？
lim(t→0)(\(e^{t}\)-1)=1-1=0ですけどねぇ
誤記であると思われます。
問題もよくわからないので、もう少し整理を・・・

lim t→0 sin\(\frac{t}{t}\)=1, lim t→0　\(e^{t}\)　-1=1を利用して次の極限値を求めよ。
（ロピタルの定理は不可）
①lim x→0 1-cosx/\(e^{2}\)\(x^{2}\) -1
②lim x→0 e^-\(x^{2}\)+2x -\(\frac{1}{s}\)i\(n^{2}\)x-sinx
(* -\(x^{2}\)+2xが　eの指数です。）
③lim x→0 log(1+5\(x^{2}\)-\(x^{3}\))/si\(n^{2}\)(2x)
④lim x→0 sinx + sin(2x)/log(1+5x + 6\(x^{2}\))
よろしくお願いします。

再質問とのことですが、解決しません・・・
まず
lim t→0　\(e^{t}\)　-1=1を利用　とのことですが
lim(t→0)\(e^{t}\)-1=0　ですので1にはなりません。
仮に
lim(t→0)e^(t-1)だとすると、これは\(\frac{1}{e}\)となります。
そこがまず未解決です。

次に
①の\(e^{2}\)\(x^{2}\)-1のどこまでが指数なのかもわかりません。
②の-\(\frac{1}{s}\)i\(n^{2}\)x-sinxも()がなく、わかりません。

(　)を使うなどしてわかりやすく整理しましょう。