先生はじめまして。
はじめて記入させていただきます。
さっそく質問させていただきますと、
無限等比級数の和の公式はどういうもので、
どのように導出されるのでしょうか？
経済学で初歩的な数学を使うのですが、
私は生っ粋の文系なため、
レベルの低いところからご教授いただければ、
幸いに思います。
では失礼いたしました。
先生はじめまして。
はじめて記入させていただきます。
さっそく質問させていただきますと、
無限等比級数の和の公式はどういうもので、
どのように導出されるのでしょうか？
経済学で初歩的な数学を使うのですが、
私は生っ粋の文系なため、
レベルの低いところからご教授いただければ、
幸いに思います。
では失礼いたしました。
無限等比級数の和をＳ＝ａ＋ａｒ＋ａｒ2＋ａｒ3＋……
とすると、初項から第ｎ項までの和をＳnとしたとき、
Ｓ＝lim Ｓn
n→∞
となる。
したがって、Ｓnを求めてから極限を考えればよい。
Ｓn＝ａ＋ａｒ＋ａｒ2＋ａｒ3＋……＋ａｒn-1
この式の両辺にｒを掛けて
ｒ・Ｓn＝ａｒ＋ａｒ2＋ａｒ3＋ａｒ4＋……＋ａｒn
２式を上から下を引いて、
（１－ｒ）Ｓn＝ａ－ａｒn
ａ（１－ｒn）
Ｓn＝────────
（１－ｒ）
したがって
Ｓ＝lim Ｓn
n→∞
を計算するためには、次のように場合分けをする。
（１）ｒ＞１のとき、lim ｒn＝∞
n→∞
（２）ｒ＝１のとき、lim ｒn＝１
n→∞
（３）－１＜ｒ＜１のとき、
lim ｒn＝０
n→∞
（４）ｒ≦－１のとき、
lim ｒn＝振動
n→∞
したがって、
－１＜ｒ＜１のときのみ極限があるから、
ａ
Ｓ＝───── （ただし、－１＜ｒ＜１）……（答）
（１－ｒ）