２次不等式の解が１＜ｘ＜２だから
ｋ＞０として
ｋ（ｘ－１）（ｘ－２）＜０とおけます。
展開して不等号の向きを条件式に合わせると
－ｋｘ^2＋３ｋｘ－２ｋ＞０
条件式と係数を比較すると
ａ＝－ｋ・・① ａｂ＝３ｋ・・② ｂ＝－２ｋ・・③
①③を②に代入して整理すると
ｋ（２ｋ－３）＝０
ｋ＞０だからｋ＝３／２
つまり
ａ＝－３／２，ｂ＝－３

実際に条件式に代入して解いてみると確かに条件の解になります。