（１）

連続する３つ整数を
ｍ－１，ｍ，ｍ＋１とします。
（ｍ，ｍ＋１，ｍ＋２でもいいですけど、計算が楽になるのでそうします。）
（ｍ－１）^3＋ｍ^3＋（ｍ＋１）^3
＝３ｍ^3＋６ｍ
ここで、ｍを３の剰余類で場合分けします。
ｍ＝３ｋのとき
３ｍ^3＋６ｍ＝９ｋ（９ｋ^2＋２）
ｍ＝３ｋ＋１のとき
３ｍ^3＋６ｍ＝９（３ｋ＋１）（３ｋ^2＋２ｋ＋１）
ｍ＝３ｋ＋２のとき
３ｍ^3＋６ｍ＝９（３ｋ＋２）（３ｋ^2＋２ｋ＋２）
いずれの場合も９の倍数となります。

（２）
１ １ １
----＋----＋----＝１ より
ｘ ｙ ｚ

ｘｙ＋ｙｚ＋ｚｘ
---------------＝１
ｘｙｚ
つまり
ｘｙ＋ｙｚ＋ｚｘ＝ｘｙｚ
ｘ，ｙ，ｚのうち少なくともひとつが１に等しいということは
ｘ＝１またはｙ＝１またはｚ＝１とういことですから、
（ｘ－１）（ｙ－１）（ｚ－１）＝０となればいい訳です。
（ｘ－１）（ｙ－１）（ｚ－１）
＝ｘｙｚ－（ｘｙ＋ｙｚ＋ｚｘ）＋（ｘ＋ｙ＋ｚ）－１
　^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ ^^^^^^^^^^^^^^^^
＝ｘｙｚ－ｘｙｚ＋１－１
　^^^^^^^^^^^^^ ^^^^^^
＝０

これで証明されました。

from UnderBird
3つの連続する正の整数をn-1,n,n+1(nは2以上の整数)とおく。
(n-1\()^{3}\)+\(n^{3}\)+(n+1\()^{3}\)=3\(n^{3}\)+6n=3n(\(n^{2}\)+2)
=3n{(n-1)(n+1)+3}=3(n-1)n(n+1)+9n
第1項目は３つの連続する数の積より3の倍数であるから、
3(n-1)n(n+1)も9nも9の倍数。
よって、9の倍数。

(x-1)(y-1)(z-1)=0であることを示せばよい。
左辺=xyz+(x+y+z)-(xy+yz+zx)-1
ここで、\(\frac{1}{x}\) +\(\frac{1}{y}\) +\(\frac{1}{z}\) =1から、
xyz=xy+yz+zxより左辺＝０である。
よってx、y、zのうち少なくとも1つは１である。