（１）
a(n)=1\(0^{n}\) +2・・・①　とおきます。
a(n)が3の倍数であることを示せばいいですね。
数学的帰納法で証明します。

n=1 のとき　a(1)=12　となり３の倍数である。

ある正整数kについて、n=kのとき①が３の倍数だと仮定します。
このとき
a(k)=1\(0^{k}\)+2=3m (mは整数）とおけます。
1\(0^{k}\)=3m-2より
10^(k+1)=30m-20
よって
a(k+1)=10^(k+1)+2=30m-18=3(10m-6)
したがって　a(k+1)は3の倍数である。
以上、数学的帰納法により
任意の正整数nについて1\(0^{n}\) +2は3の倍数である。
すなわち
(1\(0^{n}\) +2)/3　は整数である。

（２）
n=1 のとき　 4
n=2 のとき 34
n=3 のとき 334
n=4 のとき 3334
あぁ、なるほど（笑
3 が　n-1個並んだ次に4がきますね。

　333・・・3334 （n桁であり、3はn-1個並ぶ）となりますね。