完全解答とのことですが、アプローチだけですみません。

４つの解を α、β、γ、δ として
（ｘ－α）（ｘ－β）（ｘ－γ）（ｘ－δ）＝０
α＋β＝０ として一般性を失わないません。
α＝－βだから αβ＝－α^2
つまり
（ｘ^2－α^2）（ｘ－γ）（ｘ－δ）＝０
これを展開して整理すると
α＝\(\pm\)\(\sqrt{\quad}\)2，β＝-+\(\sqrt{\quad}\)2 になるようです
複合同順ですが、展開すると結局対称式の係数になるので
α＝\(\sqrt{\quad}\)2，β＝-\(\sqrt{\quad}\)2としていいのではないでしょうか？
あとはさらに展開整理して係数比較すると
γとδが求まるのでは？？？？と思います。
最後までやってませんので、すみません。