これは位相数学でしょうかねぇ
学生時代に聞いたことがあるような気もしますが・・・
完璧に忘れてしまいました。
アドバイザーの中には、かなり高度は数学の知識のある方もいるようですが・・・
このようなハイレベルな難題にはちょっと困惑しています。

間違いなくトポロジーの初歩的なもので
厳密性は要求されていないものでしょうね
用語の定義が不明確ですので，
多少勘違いしているかもしれませんが．

ジーナスは種数（穴の数），
「平面グラフ」はその平面上の「網目」，
Vは頂点(vertex)，Eは辺(edge)，Fは面(face)の個数，
であると仮定します．

ジーナス2というのは「穴の2つある浮き輪」のことです．
その浮き輪の上に適当に網目を書いて
頂点の数-辺の数+面の数を計算してみればOKでしょう
＃このような式を交代和といい，
＃今回のV-E+Fは特にオイラー数といいます．
たとえば，穴に関係ないところに
三点をとって三角形を書くと
V-E+F=3-3+1=1となります．

あとは絵をいろいろ書いて数えてみるだけです．
球面の場合はどんな「平面グラフ」でも
一定値になるのですが，穴があるとそうはいきません．
「位相幾何」のブルーバックスのような
一般向け解説書を見るとヒントがあるかもしれません