思いついたことだけ書かせて頂きます。
\(x^{2}\)*y-x*\(y^{2}\)-2=0をｙについての二次方程式と見て
ｙ＝・・・・の形に強引ですけどしてみてはどうかなぁ？
二次方程式の解の公式をつかって途中までやってみましたけど
なんかすっきりしません・・・・

y=・・・・で強引に解こうと思ったのですが
うまい具合に解けません。
どなたか教えていただけませんか？

感想：難しくない、でも計算にかなり時間がかかりました･･･

計算式が面倒なので多数の計算を省略します。
ご自分で一度計算はやってみてください。

問 f(x,y)=y\(x^{2}\)-x\(y^{2}\)-2=0 のグラフをかけ.

式をyの関数と見ると,
-x\(y^{2}\)+(\(x^{2}\))y-2=0. ･･･①
①式にx=0を代入すると-2=0となり矛盾するから,
x≠0. ･･･②
yは実数(じゃ無いと高校生の自分はグラフかけない)なので,①式において,
(判別式)=\(x^{4}\)-8x≧0 ⇔ (計算略) ⇔ x≦0, 2≦x.
②より, x＜0, 2≦x. ･･･③

①を解の公式で解くと,
y=(計算略)=x{1\(\pm\)\(\sqrt{\quad}\)[1-8/(\(x^{3}\))]}/2
となる.


(i) y=x{1+\(\sqrt{\quad}\)[1-8/(\(x^{3}\))]}/2 について.
xについて微分すると,
d\(\frac{y}{d}\)x=(計算略)=\(\frac{1}{2}\)+{2+8/(\(x^{3}\))}/{4\(\sqrt{\quad}\)[1-8/(\(x^{3}\))]}.
8/(\(x^{3}\))=t とおくと(t≠0), ③ ⇔ (計算略) ⇔ t＜0, 0≦t≦1. (t≠0)
ゆえに, t＜0, 0＜t≦1 ･･･④
∴d\(\frac{y}{d}\)x=\(\frac{1}{2}\)+(2+t)/{4\(\sqrt{\quad}\)[1-t]}.
d\(\frac{y}{d}\)x=0 ⇔ 2\(\sqrt{\quad}\)[1-t]+2+t=0. (計算略) ∴t=0,-8. 適するのは, t=-8.

(y=2\(\sqrt{\quad}\)[1-t]のグラフとy=2+tのグラフを考えることによりd\(\frac{y}{d}\)xの符号が分かる.)
t＜-8のとき d\(\frac{y}{d}\)x＜0,
t=-8のとき d\(\frac{y}{d}\)x=0,
-8＜t＜0, 0＜t＜1のとき d\(\frac{y}{d}\)x＞0,
t=1のとき d\(\frac{y}{d}\)xは存在しない.

(t＜-8などといったtの範囲をt=8/(\(x^{3}\))におき直してxの範囲に直すと)
x＜-1のとき d\(\frac{y}{d}\)x＞0,
x=-1のとき d\(\frac{y}{d}\)x=0,
-1＜x＜0のとき d\(\frac{y}{d}\)x＜0,
x=2のとき d\(\frac{y}{d}\)xは存在しない,
2＜xのとき d\(\frac{y}{d}\)x＞0.

8=t\(x^{3}\)より, 0=(d\(\frac{t}{d}\)x)\(x^{3}\)+3t\(x^{2}\).
∴d\(\frac{t}{d}\)x=(計算略)=-3t^(\(\frac{4}{3}\))/2.

\(d^{2}\)\(\frac{y}{d}\)\(x^{2}\)=(計算略)=(d\(\frac{t}{d}\)x)(4-t)/{8(1-t)^(\(\frac{3}{2}\))}.

(d\(\frac{t}{d}\)x＜0だから,y=4-t,y=1-tのグラフを考えると\(d^{2}\)\(\frac{y}{d}\)\(x^{2}\)の符号が分かる.)
t＜0, 0＜t＜1のとき \(d^{2}\)\(\frac{y}{d}\)\(x^{2}\)＜0,
t=1のとき \(d^{2}\)\(\frac{y}{d}\)\(x^{1}\)は存在しない.

(xの範囲に直すと)
x＜0, 2＜xのとき \(d^{2}\)\(\frac{y}{d}\)\(x^{2}\)＜0,
t=2のとき \(d^{2}\)\(\frac{y}{d}\)\(x^{2}\)は存在しない.

(次にがんばって極限を求める.)
y→+∞ (x→+∞), y→-∞ (x→-∞), y→-∞ (x→-0)

(さらに漸近線を求めにいく.)
先ほど求めた極限より、x=0が漸近線.
\(\frac{y}{x}\)→1 (x→\(\pm\)∞), y-x→0 (x→\(\pm\)∞)より、y=xが漸近線.

(ii) y=x{1-\(\sqrt{\quad}\)[1-8/(\(x^{3}\))]}/2 について.
xについて微分すると,
d\(\frac{y}{d}\)x=(計算略)=\(\frac{1}{2}\)-{2+8/(\(x^{3}\))}/{4\(\sqrt{\quad}\)[1-8/(\(x^{3}\))]}
=\(\frac{1}{2}\)-(2+t)/{4\(\sqrt{\quad}\)[1-t]}.

(y=2\(\sqrt{\quad}\)[1-t]のグラフとy=-2-tのグラフを考えることに
よりd\(\frac{y}{d}\)xの符号が分かる.)
t＜0のとき d\(\frac{y}{d}\)x＞0,
0＜t＜1のとき d\(\frac{y}{d}\)x＜0,
t=1のとき d\(\frac{y}{d}\)xは存在しない.

(xの範囲に直すと)
x＜0のとき d\(\frac{y}{d}\)x＞0,
x＞2のとき d\(\frac{y}{d}\)x＜0,
x=2のとき d\(\frac{y}{d}\)xは存在しない.

\(d^{2}\)\(\frac{y}{d}\)\(x^{2}\)=(計算略)=-(d\(\frac{t}{d}\)x)(4-t)/{8(1-t)^(\(\frac{3}{2}\))}.

(-d\(\frac{t}{d}\)x＞0だから,y=4-t,y=1-tのグラフを考えると\(d^{2}\)\(\frac{y}{d}\)\(x^{2}\)の符号が分かる.)
t＜0, 0＜t＜1のとき \(d^{2}\)\(\frac{y}{d}\)\(x^{2}\)＞0,
t=1のとき \(d^{2}\)\(\frac{y}{d}\)\(x^{1}\)は存在しない.

(xの範囲に直すと)
x＜0, 2＜xのとき \(d^{2}\)\(\frac{y}{d}\)\(x^{2}\)＞0,
t=2のとき \(d^{2}\)\(\frac{y}{d}\)\(x^{2}\)は存在しない.

(極限を求める.)
y→0 (x→\(\pm\)∞), y→+∞ (x→-0)
ゆえに、漸近線はy=0, x=0


(i),(ii)を参考に、グラフを描く.

(グラフ略)

x=2におけるグラフの接続点で接線が引けるような接続の仕方なのか
どうかは①をxについて解いて微分してみると分かりますが、
そこまでしなくても良いでしょう。