from UnderBird

>直交座標で表したとき
>(ｒ，ｙ)＝（\(\sqrt{\quad}\)３＋１，\(\sqrt{\quad}\)３－１）となる点を
上のｒはｘの誤りですね。

点A（ｘ、ｙ）＝（\(\sqrt{\quad}\)３＋１，\(\sqrt{\quad}\)３－１）と原点O（０，０）との距離がｒですから
OA＝ｒ＝\(\sqrt{\quad}\)｛（\(\sqrt{\quad}\)３＋１）＾2＋（\(\sqrt{\quad}\)３－１）＾2｝＝２\(\sqrt{\quad}\)２
線分OAとｘ軸の正の向きとのなす角をθとすると
sinθ＝（\(\sqrt{\quad}\)３－１）／（２\(\sqrt{\quad}\)２）＝（\(\sqrt{\quad}\)６－\(\sqrt{\quad}\)２）／４
これはθ＝１５°、弧度法ならπ／１２ですね。
実際、加法定理を用いて確かめてみると
sin１５°＝sin(45°－30°)＝sin45°cos30 °-cos45°sin30°
　　　　　＝（\(\sqrt{\quad}\)２／２）×（\(\sqrt{\quad}\)３／２）－（\(\sqrt{\quad}\)２／２）×（１／２）
　　　　　＝（\(\sqrt{\quad}\)６－\(\sqrt{\quad}\)２）／４
となってますね。
以上から、（ｒ，θ）＝（２\(\sqrt{\quad}\)２，π／１２）

（ｒ，ｙ）というのは（ｘ，ｙ）という意味だと思います。

（解答）
まず（ｘ，ｙ）＝（\(\sqrt{\quad}\)３＋１，\(\sqrt{\quad}\)３－１）だから
（ｒ，θ）において、ｒは原点と（\(\sqrt{\quad}\)３＋１，\(\sqrt{\quad}\)３－１）を結ぶ線分の長さ
ということになりますね。
つまり
ｒ＝\(\sqrt{\quad}\)｛（\(\sqrt{\quad}\)３＋１）^2＋\(\sqrt{\quad}\)３－１）^2｝
　＝\(\sqrt{\quad}\)８＝２\(\sqrt{\quad}\)２
次に
ｘ＝ｒｃｏｓθ，ｙ＝ｒｓｉｎθですから
２\(\sqrt{\quad}\)２ｃｏｓθ＝\(\sqrt{\quad}\)３＋１
２\(\sqrt{\quad}\)２ｓｉｎθ＝\(\sqrt{\quad}\)３－１　より
ｃｏｓθ＝（\(\sqrt{\quad}\)６＋\(\sqrt{\quad}\)２）／４
ｓｉｎθ＝（\(\sqrt{\quad}\)６－\(\sqrt{\quad}\)２）／４
普通はこれでθが求められるんですが、これではわかりませんね。
それでちょっと工夫して
ｓｉｎθ＋ｃｏｓθ＝\(\sqrt{\quad}\)６／２だから
これを合成して
\(\sqrt{\quad}\)２ｓｉｎ｛θ＋（π／４）｝＝\(\sqrt{\quad}\)６／２
よって
ｓｉｎ｛θ＋（π／４）｝＝\(\sqrt{\quad}\)３／２
題意から０ ＜ θ ＜ π／４
π／４　＜　θ＋（π／４）　＜　π／２　より
θ＋（π／４）＝π／３
よって
θ＝（π／３）－（π／４）＝π／１２（＝１５°）