こんにちは！「かっち」です。
先日はどうもありがとうございました。
今日もまた分からない問題があったので力になっていただけ
ないかとメールしました。
どうかよろしくお願いします。
問題 ： 半径の等しいｎ個の円Ｃ１，Ｃ２，…，Ｃｎが
半径１の円Ｃに内接し、Ｃ１とＣ２，Ｃ２とＣ３，…，
Ｃｎ-１とＣｎ，ＣｎとＣ１がそれぞれ外接しているものと
する。半径の等しいｎ個の円の半径をＲｎとするとき、以下
の問いに答えよ。
（１）ｌｉｍ（ｎＲｎ）＝πを示せ。
ｎ→∞
（２）（ア）θ＞０のとき、ｓｉｎθ＞θ-θ（三乗）／６が
成り立つことを示せ。
（イ）（ア）を用いて、ｌｉｍ｛ｎ（π-ｎＲｎ）｝を
求めよ。 ｎ→∞
＜ヒント＞
（１） Ｒｎ＝{ｓｉｎ（π／ｎ）}／｛１＋ｓｉｎ（π／ｎ）｝
（１）内接する１つの円の幅の角度は２π／ｎ
その真ん中を通る接線の角度はθ＝２π／ｎ÷２＝π／ｎ
接線は直角になるからｓｉｎθ＝Ｒｎ／（１－Ｒｎ）
変形して、
Ｒｎ＝ｓｉｎθ／（１＋ｓｉｎθ）
＝ｓｉｎ（π／ｎ）／｛１＋ｓｉｎ（π／ｎ）｝
ｓｉｎ（π／ｎ） π
ｎ・Ｒｎ＝────────×────────────
（π／ｎ） ｛１＋ｓｉｎ（π／ｎ）｝
sin(π/n) π
ｌｉｍ（ｎ・Ｒｎ）＝ｌｉｍ ─────×───────
ｎ→∞ π/n→0 (π/n) {1+sin(π/n)}
＝１×π／{1+0}＝π……（答）
（２）（ア）は、この図には関係なくマクローリン展開から
求められる。
sinθ＝θ－θ3／３！＋θ5／５！－……
θ2n-1
lim （－１）n-1──────＝０より、
n→∞ （２ｎ－１）！
sinθ≒θ－θ3／３！＋θ5／５！
したがって、θ＞０より、
sinθ＞θ－θ3／３！
∴sinθ＞θ－θ3／６
この連珠の円に関連させながら、マクローリン展開を使わな
いで、この式を出すのは不明！！！
（２）（イ）（ア）を用いて、ｌｉｍ｛ｎ（π-ｎＲｎ）｝を
ｎ→∞
求める方法について関谷先生からアドバイスを頂きました。
下に掲載します。