「放物線の性質」 - 質問＜１９５７＞

質問＜１９５７＞

「「放物線の性質」」

日付２００４／９／１９

質問者北の受験生

xy平面上において点（p,0）を通る直線と放物線\(y^{2}\)=4px(p＞0)の交点をA、Bとし、
線分ABの長さをlとする。
∠AOB=θとするとき、tanθをp、lで表せ（ただしOとは原点のことである。）

という問題なのですが、
pを通る直線をx=my+pとして放物線と式に代入して、
\(y^{2}\)-4pmy-4\(p^{2}\)=0となって、解と係数の関係から、
2点A,Bのｙ座α、β標をα、βとするとして、
α＋β＝4pm、αβ＝4\(p^{2}\)として、三角形AOB
において、余弦定理用いて、cosθを出して、
（cosθ）＾2－１＝（tanθα）＾2の式に代入すると
言う方針でやってみたのですが、
計算は爆発寸前だわ、
ｍは消えないわでもう何時間やってもきれいな値が出ません。
どうしたらよいか方針のもっていきかた＆解答をお願いします。

★希望★アプローチ★

お便り

日付２００４／９／２１

回答者 underbird

from UnderBird

αβ＝4\(p^{2}\)は、αβ＝-4\(p^{2}\)ですね。
さて、放物線の性質より、P(p,0)とすると、
AP={点Aからx=-pまでの距離}という関係式も使えば
l=4p(\(m^{2}\)+1)という関係式を得る。確認のため、
ここで、A(α^2/(4p),α),B,(β^2/(4p),β),α＞0,β＜0ですね。
このあと私は余弦定理でなく、
OAとｘ軸の正の方向をなす角をξ(ξ＞0)、OBとｘ軸の正の方向をなす角を
φ（φ＜0）でtanξ、tanφを求め、
加法定理
tanθ＝tan(ξ－φ)={tanξ-tanφ}/{1+tanξtanφ}
で求めました。
もっとすっきりできるはずですが、とりあえず。
答えは-{\(\sqrt{\quad}\)(4pl)}/(3p)