from UnderBird

xsin x+cos x=\(\sqrt{\quad}\)(\(x^{2}\)+1){(sin x)(x/\(\sqrt{\quad}\)(\(x^{2}\)+1))+(cos x)(1/\(\sqrt{\quad}\)(\(x^{2}\)+1))}
=\(\sqrt{\quad}\)(\(x^{2}\)+1){(sin x)(cos α(x))+(cos x)(sin α(x))}
=\(\sqrt{\quad}\)(\(x^{2}\)+1)(sin (x+α(x))
ですから、xの値によってαの値は変化するわけです。
ですからαは定数ではなく、xの関数です。
おそらくグラフを描こうとして、このような疑問がわいたと思います。
微分して増減表を書く解法しか私は思いつきません。

できません。
あくまでも係数は定数でないといけません。

ではxcosx+sinx=0となるxを求めよといった場合には
どうすればいいんでしょうか？

問題にはｘに関する範囲とか条件はないのでしょうか？

まず、ｃｏｓｘ＝０のときｓｉｎｘ＝１または－１
つまり０\(\pm\)１＝０となって矛盾。

だからｃｏｓｘ≠０
このとき
ｘｃｏｓｘ＝－ｓｉｎｘ
ｘ＝－ｔａｎｘ
直線ｙ＝ｘと曲線ｙ＝－ｔａｎｘのグラフを書くと
－π／２＜ｘ＜π／２の範囲では点（０，０）で交わります。
しかし、
ｘの範囲に制限がないなら解は無数にあるのではないでしょうか？