以下の２題について、全然歯が立たず困っています。
どなたかアドバイスをお願いします。
①確率変数Ｘが
lim Δx→0 P(x≦X≦x＋Δx|X＞x)/Δx=f(x),P(X＞0)=1を満たすとき、
Ｘの分布関数Ｆx(x)を求めよ。
②確率変数Ｘの特性関数がψx(t)=e^(-a|t|)(a＞0の定数)のとき、
Ｘの確率密度関数px(x)と分布関数Fx(x)を求めよ。
★希望★完全解答★
以下の２題について、全然歯が立たず困っています。
どなたかアドバイスをお願いします。
①確率変数Ｘが
lim Δx→0 P(x≦X≦x＋Δx|X＞x)/Δx=f(x),P(X＞0)=1を満たすとき、
Ｘの分布関数Ｆx(x)を求めよ。
②確率変数Ｘの特性関数がψx(t)=e^(-a|t|)(a＞0の定数)のとき、
Ｘの確率密度関数px(x)と分布関数Fx(x)を求めよ。
★希望★完全解答★
(1)
P(x≦X≦x+Δx|X＞x)=P(x≦X≦X+Δx,X＞x)/P(X＞x)だから、
limP(x≦X≦x+Δx|X＞x)/Δx=limP(x＜X≦x+Δx)/(ΔxP(x＞x))
よってlimP(x≦X≦x+Δx)/Δx=f(x)P(X＞x)
dF(x)/dx=f(x)(1-F(x))
(1/(1-F(x)))dF(x)/dx=f(x)
-log(1-F(x))=∫f(x)dx
1-F(x)=exp(-∫f(x)dx)
F(x)=1-exp(-∫f(x)dx)
(2)
逆変換をする
p(x)=(1/(2π))∫ψ(t)exp(-ixt)dt=(a/π)(1/(\(a^{2}\)+\(x^{2}\)))
F(x)=∫p(t)dt