ｃｏｓ２θ＝２ｃｏｓ^2θ－１だから
２co\(s^{2}\)θ-５cosθ+２＞０　となりますね。
ここでｃｏｓθ＝ｔとおくと
－１≦ｔ≦１であることに注意してください。
２ｔ^2－５ｔ＋２＞０となって、二次不等式になります。
これを因数分解して
（ｔ－２）（２ｔ－１）＞０だから
ｔ＜１／２，ｔ＞２となります。
もし、この部分がわからないということならば、
二次不等式の基本をもういちどおさらいしてみましょう。

さて、ｔ＝ｃｏｓθなのだから
ｃｏｓθ＜１／２，ｃｏｓθ＞２となるわけですが
－１≦ｔ≦１なので
－１≦ｃｏｓθ＜１／２　となります。
（－１≦ｃｏｓθは当然なので、ｃｏｓθ＜１／２だけでいいでしょう）
（ｃｏｓθ＞２はあり得ないのでボツです。）
この不等式を満たすθを求めるのであれば、
０°≦θ＜３６０°の範囲で考えれば
６０°＜θ＜３００°となります。