はじめまして、
数学がすごく苦手なので先生の言っていることがわかりません。
やさしくお願いします。
ｎが自然数の時、co\(s^{n}\)θについて次の問に答えよ。
(1)co\(s^{2}\)θ＝ａ＋ｂcos２θをみたす定数ａ，ｂを求めよ。
(2)co\(s^{3}\)θ＝cosθco\(s^{2}\)θを利用し、
co\(s^{3}\)θが定数\(a_{0}\)、\(a_{1}\),\(a_{2}\)，\(a_{3}\)を用いて、
co\(s^{3}\)θ＝\(a_{0}\)＋\(a_{1}\)cosθ＋\(a_{2}\)cos2θ＋\(a_{3}\)cos3θ
と表されることを示せ。
(3)一般の自然数ｎについても、
co\(s^{n}\)θが適当な定数 \(c_{0}\)・・・・、\(c_{n}\)を用いて、
co\(s^{n}\)θ＝\(c_{0}\)＋\(c_{1}\)cosθ＋・・・＋\(c_{n}\)cosnθ
と表されることを示せ。
★希望★完全解答★
簡単のため
二倍角の公式，三倍角の公式，
和積の公式，積和の公式を使います
＃さらにTeX流で表記します
(1)
\cos2\theta=2\co\(s^{2}\)\thea-1 （二倍角の公式）
より
\co\(s^{2}\)\theta=\(\frac{1}{2}\)+(\(\frac{1}{2}\))\cos2\theta
つまり，a=\(\frac{1}{2}\)，b=\(\frac{1}{2}\)
(2)
(1)より
\co\(s^{3}\)\theta=\cos\theta\co\(s^{2}\)\theta
=\cos\theta(\(\frac{1}{2}\)+(\(\frac{1}{2}\))\cos2\theta)
=(\(\frac{1}{2}\))\cos\theta+(\(\frac{1}{2}\))\cos\theta\cos2\theta
積和の公式より
\cos\theta\2cos\theta
=(\(\frac{1}{2}\))(\cos(\theta-2\theta)+\cos(\theta+2\theta))
=(\(\frac{1}{2}\))\cos\theta+(\(\frac{1}{2}\))\cos3\theta
(\cos(-\theta)=\cos\thetaに注意)
したがって，
\co\(s^{3}\)\theta
=(\(\frac{1}{2}\))\cos\theta+(\(\frac{1}{4}\))\cos\theta+(\(\frac{1}{4}\))\cos3\theta
=(\(\frac{3}{4}\))\cos\theta+(\(\frac{1}{4}\))\cos3\theta
これで題意は証明できた．
（\(a_{0}\)=0，\(a_{1}\)=\(\frac{3}{4}\)，\(a_{2}\)=0，\(a_{3}\)=\(\frac{1}{4}\)）
(3)
数学的帰納法を用いる
n=1のときは明らか
kは2以上の整数であるとして
nがk-1以下のとき
\cos^{k-1}\thetaが
題意の形で表されると仮定する
n=kのとき
\co\(s^{k}\)\theta=\cos\theta\cos^{k-1}\theta
であり，帰納法の仮定より\cos^{k-1}\thetaは
1,\cos\theta,...\cos(k-1)\thetaによって
表される．ここで，A=1,2,...,k-1とすると
\co\(s^{k}\)\thetaは
(係数)\cos\theta\cosA\thetaの形の項の
和であるので，\cos\theta\cosA\thetaのみを
考える．積和の公式より
\cos\theta\cosA\theta
=(\(\frac{1}{2}\))(\cos(A-1)\theta+\cos(A+1)\theta)
である．A=1,2,...k-1であるので
A-1=0,1,..k-2，A+1=2,3,...,kである
したがって，
\cos\theta\cosA\thetaは題意の形の式で
表される．
よって，\co\(s^{k}\)\thetaも題意の形の式で表される．
したがって，任意の自然数nに対して
\co\(s^{n}\)\thetaは題意の形の式で表される．