どんなカテゴリー（単元）での問題なんでしょうか？

極限としてとらえれば
x≧0，p≧0　として
f(x)=\(\sqrt{\quad}\)xp-(x+p)/2　とおくと
lim(x\(\vec{p}\))f(x)=p-p=0

それとも微分法で近似？

それともごく単純に
p≒qのとき
\(\sqrt{\quad}\)pq≒\(\sqrt{\quad}\)\(q^{2}\)＝q
(p+q)/2≒2\(\frac{q}{2}\)＝q
だから
\(\sqrt{\quad}\)pq≒(p+q)/2　なんてのは駄目なのかなぁ？

(p+q)/2-\(\sqrt{\quad}\)(pq)=(\(\sqrt{\quad}\)p-\(\sqrt{\quad}\)q\()^{2}\)だから、p≒qのとき、\(\sqrt{\quad}\)p≒\(\sqrt{\quad}\)qより、
(p+q)/2≒\(\sqrt{\quad}\)pq