(1)
y'＝2xより
点Q(t,\(t^{2}\)+1)における接線の方程式は
y＝2t(x-t)+\(t^{2}\)+1
ここでy＝0とおけば点Pの座標が求まります。
2t(x-t)+\(t^{2}\)+1＝0をxについて解いて
x＝(\(t^{2}\)-1)／2t
よって点Pの座標は（(\(t^{2}\)-1)/2t，0）

(2)
点Rを(a，\(a^{2}\)+1)とおきます。
点Rにおける接線の方程式は
y＝2a(x-a)+\(a^{2}\)+1
この接線は点Pを通るから
x=(\(t^{2}\)-1)／2t，y=0を代入して整理すると
(a-t)(ta+1)＝0
a＝tならば点Qと点Rが一致してしまうので
a≠t　よって　a＝-\(\frac{1}{t}\)
このとき\(a^{2}\)+1＝(1/\(t^{2}\))+1
よって点Rの座標は（-\(\frac{1}{t}\)，(1/\(t^{2}\))+1）

(3)
点Q，点Rからx軸に垂線QS，RTを引くと
四角形RTSQはRTとQSが平行な台形になります。
その台形の面積から△PRTと△PQSの面積を引けば
△PQRの面積になります。
これは自分でやってみてください。
結果は計算していません・・・