この問題は二度目の登場のようです。
まず、書かれた問題どおりだとすると
これは因数分解できて
（ｘ－２０）(ｘ^2＋２ｘ＋２）＝０
ｘ^2＋２ｘ＋２＞０より
解は ｘ＝２０ だけです。

質問＜１６６６＞と同じ問題であれば
ｘ^2の係数は－１８ではなく＋１８だと思います。
そこで
質問１６６６においてphaosさんがアドバイスしてくれていますが、
これを参考にパソコンでニュートン法による近似を試みてみました。
すると
－１９．８１５７９４３８６１２５５
－０．７７８１８３７９８５３５２
２．５９３９７８１８４６６０７
以上の３つの近似解となりました。

２^nが解でないことの証明も
実際に紙と鉛筆で解くこともできませんでしたが
この問題の出どころはどこなんでしょうか？
私も完全解答を見てみたいと思います。
力になれなくてすみません(汗）

(1)x=\(2^{n}\)が解ではないこと
n=1のとき
\(x^{3}\)-18\(x^{2}\)-38x-40にx=2を代入して
\(2^{3}\)-18*\(2^{2}\)-38*2+40=-100となるのでx=2はこの方程式の解ではない。
n=2のとき
\(x^{3}\)-18\(x^{2}\)-38x-40にx=4を代入して
\(4^{3}\)-18*\(4^{2}\)-38*4+40=-336となるのでx=4はこの方程式の解ではない。
n≧3のとき
\(x^{3}\)-18\(x^{2}\)-38x-40=0が解x=\(2^{n}\)を持つと仮定する。
\(x^{3}\)-18\(x^{2}\)-38x-40=0にx=\(2^{n}\)を代入して
（\(2^{n}\)\()^{3}\)-18(\(2^{n}\)\()^{2}\)-38*\(2^{n}\)-40=0
2^(3n)-18*2^(2n)-38*\(2^{n}\)=40
\(2^{4}\)=16でくくると
\(2^{4}\)*{2^(3n-4)-18*2^(2n-4)-19*2^(n-3)}=40
左辺は16で割り切れるが右辺は40=16*2+8となって16では割り切れないので矛盾。

(2)
\(x^{3}\)-18\(x^{2}\)-38x-40にx=20を代入すると
2\(0^{3}\)-18*2\(0^{2}\)-38*20-40=0となるので
\(x^{3}\)-18\(x^{2}\)-38x-40=0はx=20を解にもつ
よって\(x^{3}\)-18\(x^{2}\)-38x-40は
\(x^{3}\)-18\(x^{2}\)-38x-40=(x-20)(\(x^{2}\)+2x+2)=0
\(x^{2}\)+2x+2=0の解は、解の公式より
x=-1\(\pm\)i(ただしiは虚数単位)と書ける。
よって\(x^{3}\)-18\(x^{2}\)-38x-40=0の解は
x=20、-1\(\pm\)i(ただしiは虚数単位)となる。