テストからの抜粋です。（一部改）
問）半径 r の球 P に内接する立方体を Q とする。この立方
体 Q に内接する球をP1、P1 に内接する立方体を Q1。この
Q1 に内接する球を P2、P2 に内接する立方体を Q2 とし、以
下同様にして、球 P1、P2、P3、・・・を決める。球 Pk の体
積を Vkとするとき、次の２つを求めよ。
Σ from k=1 to n , Vk
lim n→∞ (Σ from k=1 to n , Vk)
球Ｐに内接する立方体Ｑ(ABCDEFGH)をＡＥＧＣを通るように
切断すると、図２のようになる。立方体Ｑの一辺をａとする
と、ＡＣ＝（\(\sqrt{\quad}\)２）ａ、ＡＥ＝ａだから、ＥＣ＝（\(\sqrt{\quad}\)３）ａ
このＥＣは球Ｐの直径ともなるので、２ｒ＝（\(\sqrt{\quad}\)３）ａ
∴ａ＝（２／\(\sqrt{\quad}\)３）ｒ
図３より、立方体Ｑに内接する球Ｐ1の直径とＱの一辺と
長さが一致するので、ｒ1＝ａ／２＝（１／\(\sqrt{\quad}\)３）ｒ
同様にして、ｒ2＝（１／\(\sqrt{\quad}\)３）2ｒ
球Ｐkの体積をＶkとすると、
Ｖk＝（４π／３）（ｒk）3
＝（４π／３）（（１／\(\sqrt{\quad}\)３）kｒ）3
＝（４π／３）（１／\(\sqrt{\quad}\)３）3kｒ3
＝（４π／３）ｒ3（１／３\(\sqrt{\quad}\)３）k
＝（４π／３）ｒ3｛（\(\sqrt{\quad}\)３）／９｝k
したがって、
n n
ΣＶk＝（４π／３）ｒ3 Σ｛（\(\sqrt{\quad}\)３）／９｝k
k=1 k=1
{(\(\sqrt{\quad}\)3)/9}【1-{(\(\sqrt{\quad}\)3)/9}｝n】
＝（４π／３）ｒ3×────────────────……（答）
１－｛（\(\sqrt{\quad}\)３）／９｝
n
lim ΣＶk＝（４π／３）ｒ3×{(\(\sqrt{\quad}\)3)/9}／{1-(\(\sqrt{\quad}\)3)/9}
n→∞k=1
＝（４\(\sqrt{\quad}\)3）／｛３（9-\(\sqrt{\quad}\)3）｝×πｒ3……（答）