\(a_{n}\)=n+2とおくと
\(t_{n}\)+\(a_{n}\)=2(t_{n-1}+a_{n-1})
\(t_{0}\)+\(a_{0}\)=2なので
\(t_{n}\)+\(a_{n}\)=2^{n+1} (n=0,1,2,...)
よって
\(t_{n}\)=2^{n+1}-(n+2) (n=0,1,2,...)

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なお，最初の5，6項を計算して
二階の階差をとれば\(t_{n}\)は予想できるので
数学的帰納法でも解けます．
これが一般的な方法でしょう．

ちなみに，上の\(a_{n}\)は
\(t_{n}\)+X=2(t_{n-1}+(X-1))
なる式を計算して，漸化式と比べることで
導出しました．