a，b，cのすべてが奇数であるとする
奇数の二乗は奇数であるので
\(a^{2}\)+\(b^{2}\)は二つの奇数の和となり偶数
一方，\(c^{2}\)は奇数．
これは\(a^{2}\)+\(b^{2}\)=\(c^{2}\)に反する
よって，
a，b，cの少なくとも一つは偶数である．

背理法で矛盾を導きます。
ａ，ｂ，ｃがすべて奇数であると仮定します。
ｘ，ｙ，ｚを整数として
ａ＝２ｘ＋１
ｂ＝２ｙ＋１
ｃ＝２ｚ＋１ とおけます。
ａ^2＋ｂ^2＝（２ｘ＋１）^2＋（２ｙ＋１）^2
＝４（ｘ^2＋ｘ＋ｙ^2＋ｙ）＋２
よって
ａ^2＋ｂ^2 は偶数。
一方
ｃ^2＝（２ｚ＋１）^2
＝４（ｚ^2＋ｚ）＋１
よって
ｃ^2 は奇数。
ａ^2＋ｂ^2＝ｃ^2を満たすのだから
偶数＝奇数となって、矛盾する。

感覚的には
偶数＋偶数＝偶数
奇数＋奇数＝偶数
偶数＋奇数＝奇数
偶数の平方は偶数
奇数の平方は奇数
つまり全部奇数では成り立たないということでしょう。