ちょっと手抜きかも知れませんがやってみました。
だいたいはいいかと思います。

α＝１＋\(\sqrt{\quad}\)３・ｉ
＝２｛（１／２）＋（\(\sqrt{\quad}\)３／２）・ｉ｝
＝２（ｃｏｓ６０°＋ｉ・ｓｉｎ６０°）
β＝－１－ｉ
＝－\(\sqrt{\quad}\)２｛（\(\sqrt{\quad}\)２／２）＋（\(\sqrt{\quad}\)２／２）・ｉ）
＝－\(\sqrt{\quad}\)２（ｃｏｓ４５°＋ｉ・ｓｉｎ４５°）
したがって
α’＝２｛ｃｏｓ（θ＋６０°）＋ｉ・ｓｉｎ（θ＋６０°）｝
β’＝－\(\sqrt{\quad}\)２｛ｃｏｓ（４５°－θ）＋ｉ・ｓｉｎ（４５°－θ）｝
｜α’｜＝\(\sqrt{\quad}\)２｜β’｜であり
α’とβ’が一直線上にあるのだから
α’＝\(\pm\)\(\sqrt{\quad}\)２β’
よって
ｃｏｓ（θ＋６０°）＝\(\pm\)ｃｏｓ（４５°－θ）
＝\(\pm\)ｃｏｓ（θ－４５°）
－ｓｉｎ（θ＋６０°）＝\(\pm\)ｓｉｎ（４５°－θ）
が成り立つ
これはｎを整数とすると
θ＋６０°＝１８０ｎ°\(\pm\)（θ－４５°）であるから
①
θ＋６０°＝１８０ｎ°＋（θ－４５°）のとき
６０°＝１８０ｎ°－４５°
これはｎが整数にならないので不適
②
θ＋６０°＝１８０ｎ°－（θ－４５°）のとき
２θ＝１８０ｎ°－１５°
θ＝９０ｎ°－７．５°
０°＜θ＜３６０°だから
θ＝８２．５°，１７２．５°，２６２．５°，３５２．５°

厳密性に欠けるような気もしますけど
こんな感じでどうでしょうか？