整理するとこうなるのでしょうか
結局ほとんどの場合は1になるはずですね

n=1のときA(1)=1と定める
n=k-1のとき，
nの約数を，
1，\(d_{1}\)，\(d_{2}\)，...，d_{l}，n
（1＜\(d_{i}\)＜n，i=1，2，...，l）
とおき，
A(1)*A(\(d_{1}\))*A(\(d_{2}\))*・・・*A(\(d_{l}\))*A(n)=n
によって，A(n)を定める．
このとき，A(n)は自然数であることを示せ．

これを示すには，
以下のことを証明すれば十分でしょう．

(1)
素数p及び自然数nに対してA(\(p^{n}\))=p
(2)
相異なる素数\(p_{1}\)，\(p_{2}\)，...，\(p_{k}\) (kは自然数で2以上)，
自然数\(n_{1}\)，\(n_{2}\)，...，\(n_{k}\)に対して
A(\(p_{1}\)^{\(n_{1}\)}\(p_{2}\)^{\(n_{2}\)}・・・\(p_{k}\)^{\(n_{k}\)})=1

(1)の証明はnに関して帰納法．
(2)に関しては
\(n_{1}\)=\(n_{2}\)=・・・=\(n_{k}\)=1の場合でkに関して帰納法．
そしてX=\(p_{1}\)\(p_{2}\)・・・\(p_{n}\)として
A(qX)=1（qは素数）
を示せば十分．
このqXの場合に対しては，
X=pqの場合だけ示せれば十分でしょう．
＃これも一種の帰納法です．

これら(1)(2)が示せれば，
自然数は素因数分解できることと，
素因数分解をして
\(p_{1}\)^{\(n_{1}\)}\(p_{2}\)^{\(n_{2}\)}・・・\(p_{k}\)^{\(n_{k}\)}
となった自然数の約数は
(1+p+・・・+p^{\(n_{1}\))(1+\(p_{2}\)+・・・\(p_{2}\)^{\(n_{2}\)})
・・・(1+\(p_{k}\)+・・・\(p_{k}\)^{\(n_{k}\)})
の各項であることから
A(n)が自然数であることは示せます．