(1)
(x+y)/2-\(\sqrt{\quad}\)(xy)={(\(\sqrt{\quad}\)x-\(\sqrt{\quad}\)y)}^\(\frac{2}{2}\)≧0
したがって、(x+y)/2≧\(\sqrt{\quad}\)(xy)となります。
(等号はx=yのときのみ成立する)

(2)
lo\(g_{10}\)の底の10を省略して、logと表記します。
(1)より、(x+y)/2≧\(\sqrt{\quad}\)(xy)が成立するから
(log{(x+y)/2}\()^{2}\)≧(log{\(\sqrt{\quad}\)(xy)}\()^{2}\)={(\(\frac{1}{2}\))*log(xy)}^2={(logx+logy)}^\(\frac{2}{4}\)
したがって、(log10 {(x+y)/2}\()^{2}\)≧{(logx+logy)}^\(\frac{2}{4}\)…☆
(等号はx=yのときのみ成立する)
{(logx+logy)}^\(\frac{2}{4}\)-(logx)*(logy)={(logx+logy\()^{2}\)-4(logx)(logy)}/4
=(logx-logy\()^{2}\)≧0
したがって{(logx+logy)}^\(\frac{2}{4}\)≧(logx)*(logy)…★
(等号はlogx=logyつまりx=yのときのみ成立する)
☆と★より、(log10 {(x+y)/2}\()^{2}\)≧(logx)*(logy)が成立することがわかる。
(ただし、等号はx=yのときのみ成立する)

(3)
log_[x](x+1)＞log_[1+x](x+2)…○
lo\(g_{10}\)の底の10を省略して、logと表記します。
底の交換法則より
log_[x](x+1)=log(x+1)/logx、log_[1+x](x+2)=log(x+2)/log(x+1)
したがって、問題の不等式の○は、
log(x+1)/logx＞log(x+2)/log(x+1)…◎
と同値である。x＞1よりlogx＞0、log(x+1)＞0が成立するので◎の不等式は
{log(x+1)}^2＞log(x+2)*logx…●
と同値である。
したがって、不等式●が示せれば、元の不等式の○が示せることになる。
不等式●を示します。
(2)で示したとおり
log(x+2)*logx＜(log{(x+2+x)/2}\()^{2}\)={log(x+1)}^2
(∵　x+2＞xですので、この場合等号は成立しません)

よって、不等式●が示せました。
したがって、元の不等式の○も示せたことになります。