どこまで一般性（厳密性）が求められるのかによるのでしょうが、
私にとっては難しい問題です。
例えば
原点中心で半径ｒ１の円をＳ１として
ｘ＞０，ｙ＞０の部分で
ｘ軸、ｙ軸と、円Ｓ１に接するような円Ｓ２を考えて
その半径をｒ２とすれば、
ｒ２＝ｒ１／（１＋\(\sqrt{\quad}\)２）となって
Ｓ１とＳ２の接点Ｐは
Ｐ（（\(\sqrt{\quad}\)２／２）ｒ１，（\(\sqrt{\quad}\)２／２）ｒ１）となります。
そうすると
点Ｐにおける微分係数はどちらの場合も－１で
計算してませんが、二次微分は等しくないということが分かると思います。
でも、これだと一般性に欠けるのでしょうねぇ・・・

半径の異なる2つの円弧を滑らかに接続、左右の～　　の文章から、
2つの円が外接すると限定でしょうか？内接している場合も含めて考えるのでは？
と1つめの疑問。
さらに二次微分って２階微分のことですよね？
そして、ｙのｘに対する２階微分ってことですか？すなわち、
y''=\(\frac{d}{d}\)x(d\(\frac{y}{d}\)x)=d\(y^{2}\)/\(d^{2}\)xのことですよね。
以上を仮定して、2つの円が内接または外接してるとその接点では、共通接線が引け
るから、接線の傾きは当然等しい。しかし、接点から各円の円周上を移動させるとそ
れぞれの接線の傾きは変わるから、接線の傾きの変化率は異なっている。というのが
直感的説明。

次に2つの円を平行移動しても接線の傾きは変わらないから、
\(x^{2}\)+\(y^{2}\)=\(r^{2}\)と\(x^{2}\)+\(y^{2}\)=\(R^{2}\)の各（rcosθ,rsinθ）、（Rcosθ,Rsinθ）における接線
の傾きy'とy''を考える。
ただし、θ≠0,πとする。
どちらもxで微分すると、2x+2yy'=0よりy'=-\(\frac{x}{y}\)より一次微分（接線の傾き）は等し
い。
さらにxで微分し、x+(y'\()^{2}\)+yy''=0とy'=-x/ｙより
y''=-(\(x^{2}\)+\(y^{2}\))/\(y^{3}\)
よって、それぞれ（rcosθ,rsinθ）、（Rcosθ,Rsinθ）におけるy''の値は
-\(r^{2}\)/(sinθ\()^{2}\),-\(R^{2}\)/(sinθ\()^{2}\)となるから、異なっている。
このような説明ではどうでしょうか？