問題文が怪しいですね
たぶん，aは実数という条件がもれているように
思いますので，aは実数と仮定します．

(1)
f(x)=-4a(\(x^{2}\)-1)+\(a^{2}\)(x+1)+4\(x^{3}\)+3x+7
なので，任意のaに対してf(m)=0を満たすのは
\(x^{2}\)-1=0，x+1=0，4\(x^{3}\)+3x+7=0の共通解
よって，m=-1

(2)
f(x)=(x+1){4\(x^{2}\)-4(a+1)x+\(a^{2}\)+4a+7}
4\(x^{2}\)-4(a+1)x+\(a^{2}\)+4a+7=0の実数解をもつならば
-1とそれらの実数解が正三角形をなすことはない．
よって，実数解をもたない
（実数係数の2次方程式は，
実数解をもてばほかの解も実数であることに注意）
また，実数係数なので，
4\(x^{2}\)-4(a+1)x+\(a^{2}\)+4a+7=0の虚数解\alpha，\betaは
互いの共役なので，
それぞれ，\alpha=b+ci，\beta=b-ciとおける
3点-1，\alpha，\betaが正三角形をなす条件は
|\alpha+1|=|\beta+1|=|\alpha-\beta|・・・(A)
である．
解と係数の関係より
2b=\alpha+\beta=a+1
\(b^{2}\)+\(c^{2}\)=\alpha\beta=(4a+7)/4
(A)より
(b+1\()^{2}\)+\(c^{2}\)=4\(c^{2}\)・・・(B)
すなわち
(b+1\()^{2}\)=3\(c^{2}\)
そこでb=(a+1)/2，\(c^{2}\)=(4a+7)/4 - \(b^{2}\)によって，
(B)からbとcを消去すると
(a+3\()^{2}\)/4 = (-3\(a^{2}\)+6a+18)/4
これをといて
a=\(\frac{3}{2}\)，-\(\frac{3}{2}\)

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>（１）の条件を満たすということはつまり，
>３次方程式の判別式D＞0という考えでよろしいのでしょうか？

ということでこれは違います．
判別式とは何も関係ありません．
そもそも判別式は
その方程式が重解をもつか否かを判別するだけの
もので，それがたまたま
実数係数でかつ二次方程式のときのみ
実数解か虚数解かまで判別できるというだけの
ことなのです．
なお，一般のn次の代数方程式の
判別式というのは
解を\(a_{1}\)，\(a_{2}\)，...，\(a_{n}\)として
(\(a_{i}\)-\(a_{j}\)\()^{2}\)をすべての異なるi，j (i＜j)に対して
掛け算したもので，
二次方程式の場合は
(\alpha-\beta\()^{2}\)
=(\alpha+\beta\()^{2}\)-4\alpha\beta
=\(b^{2}\)/\(a^{2}\) - 4 \(\frac{c}{a}\)
=(\(b^{2}\)-4ac)/\(a^{2}\)
となって，普通の判別式と同様になります．
3次のときは，
2次の項の係数が0のときに
-4\(a^{3}\)-27\(b^{2}\)
と同様のものになりますが
ほとんど使えません．

(1)
任意のaに対して
4\(m^{3}\)-4a\(m^{2}\)+(\(a^{2}\)+3)m+\(a^{2}\)+4a+7=0
になっているので、4\(m^{3}\)-4a\(m^{2}\)+(\(a^{2}\)+3)m+\(a^{2}\)+4a+7=0がaに関する恒等式に
なっていることがわかります。

4\(m^{3}\)-4a\(m^{2}\)+(\(a^{2}\)+3)m+\(a^{2}\)+4a+7をaについて整理すると
(m+1)\(a^{2}\)+(4-4\(m^{2}\))a+4\(m^{3}\)+3m+7=0となります。

(m+1)\(a^{2}\)+(4-4\(m^{2}\))a+4\(m^{3}\)+3m+7=0がaに関する恒等式なので、mは
m+1=0…{1}
4-4\(m^{2}\)=0…{2}
4\(m^{3}\)+3m+7=0…{3}
{1}を解くとm=-1
{2}を解くとm=\(\pm\)1
{3}を解くとm=-1、(1\(\pm\)\(\sqrt{\quad}\)6i)/2(iは虚数単位)
共通する解はm=-1
したがって、求めるmはm=-1である。

(2)
(1)よりx=-1はf(x)=0の解だから、f(x)は
f(x)=(x+1){4\(x^{2}\)-(4a+4)x+\(a^{2}\)-4a+7}
と因数分解される。
したがって、f(x)=0の解はx=-1と4\(x^{2}\)-(4a+4)x+\(a^{2}\)-4a+7=0の解で
あることがわかる。

4\(x^{2}\)-(4a+4)x+\(a^{2}\)-4a+7=0の解が実数だと仮定すると、f(x)=0の解は
複素平面で線分となって不合理。

4\(x^{2}\)-(4a+4)x+\(a^{2}\)-4a+7=0の解は共役な複素数
u+vi、u-vi(u,vは実数、iは虚数単位)

解と係数の関係より
(u+vi)+(u-vi)=4(a+1)/4…{4}
(u+vi)*(u-vi)=(\(a^{2}\)-4a+7)/4…{5}

u+vi、u-viと-1が複素平面で正三角形になるので
\(\sqrt{\quad}\){(u+1)+\(v^{2}\)}=\(\sqrt{\quad}\){(u+1\()^{2}\)+(-v\()^{2}\)}=(2v\()^{2}\)…{6}
{4},{5},{6}を整理して
a=2u-1…{7}
4\(u^{2}\)+4\(v^{2}\)=\(a^{2}\)-4a+7…{8}
(u+1\()^{2}\)=3\(v^{2}\)…{9}
{7}を{8}に代入して、aを消去して整理すると
\(v^{2}\)=3-3u…{10}
{10}を{9}に代入して、vを消去して整理すると
\(u^{2}\)+11u-8=0…{11}
{11}を解くとu=(-11士3\(\sqrt{\quad}\)17)/2…{12}
{12}を{10}に代入すると
v=\(\sqrt{\quad}\)(39干9\(\sqrt{\quad}\)17)/2
{12}を{7}に代入するとa=-12士3\(\sqrt{\quad}\)17

従って、求めるaの値はa=-12\(\pm\)3\(\sqrt{\quad}\)17です。

2043(2)
解と係数の関係でミスしてますね(^^;
方針は風あざみさんとまったく同じです．

実際に計算はしてないですが
aが実数という条件がなくてもよさそうです．
4\(x^{2}\)-4(a+1)x+\(a^{2}\)+4a+7=0の虚数解\alpha，\betaに
に対して
\alpha+1=((1+-\sqrt{3}i)/2) * (\beta+1)
を解と係数の関係のもとで解けばよいでしょうね