(1)f'(x) = 3(\(x^{2}\)-a)である。これが正負の変化をする
xがあればよい。
f'(x)は二次関数なので、x軸と相異なる二点で交わ
ればよい（1点で交わるときは
　 負に変化していないので極値を持たない）
　 よって、a>0ならば二点で交わるので、求める条件
は a>0

(2)極値をもつxはf'(x)=0⇔\(x^{2}\)=a⇔x = \(\pm\)\(\sqrt{\quad}\)aなので、増減表は
　 x | |-\(\sqrt{\quad}\)a | |\(\sqrt{\quad}\)a |
f'(x)| 正| ０ | 負| ０ | 正
f(x) | ↑| 極大| ↓|極小| ↑
なのでα＝-\(\sqrt{\quad}\)a　β＝\(\sqrt{\quad}\)a
よって、f(α)-f(β)
=(-\(\sqrt{\quad}\)a)＾3-3a(-\(\sqrt{\quad}\)a)＋b-{(\(\sqrt{\quad}\)a)＾3-3a\(\sqrt{\quad}\)a＋b}
=4a\(\sqrt{\quad}\)a

(3)P((α+β)/2 , (f(α)+f(β))/2)がfを満たせばよい。
　f(α)+f(β)
=(-\(\sqrt{\quad}\)a)＾3-3a(-\(\sqrt{\quad}\)a)＋b+(\(\sqrt{\quad}\)a)＾3-3a\(\sqrt{\quad}\)a＋b
=2(b-3a\(\sqrt{\quad}\)a)
∴　(f(α)+f(β))/2 =　b

α+β＝0なので(α+β)/2＝０
　よってf((α+β)/2)=f(0)=b
　以上のことから
　f((α+β)/2)=(f(α)+f(β))/2
したがって、Pはy=f(x)上にある。

（１）
ｆ’（ｘ）＝３（ｘ^2－ａ）より
ａ＞０が極値を持つための条件

（２）
ａ＞０として
（増減表は省略）
ｘ＝－\(\sqrt{\quad}\)ａで極大、ｘ＝\(\sqrt{\quad}\)ａで極小
つまり
α＝－\(\sqrt{\quad}\)ａ，β＝\(\sqrt{\quad}\)ａ
ｆ（α）＝ｆ（－\(\sqrt{\quad}\)ａ）＝２ａ\(\sqrt{\quad}\)ａ＋ｂ
ｆ（β）＝ｆ（\(\sqrt{\quad}\)ａ）＝－２ａ\(\sqrt{\quad}\)ａ＋ｂ
ｆ（α）－ｆ（β）＝４ａ\(\sqrt{\quad}\)ａ

（３）
（α，ｆ（α））＝（－\(\sqrt{\quad}\)ａ，２ａ\(\sqrt{\quad}\)ａ＋ｂ）
（β，ｆ（β））＝（\(\sqrt{\quad}\)ａ，－２ａ\(\sqrt{\quad}\)ａ＋ｂ）
よって
点Ｐの座標は（０，ｂ）
ｆ（０）＝ｂだから
点Ｐは曲線ｙ＝ｆ（ｘ）上にある。