体R上の3次元線型空間R＾3において、任意の基底
ε={\(e_{1}\),\(e_{2}\),\(e_{3}\)}に対し、線型変換φを
φ(\(e_{1}\))=\(e_{1}\)+\(e_{2}\), φ(\(e_{2}\))=\(e_{2}\)+\(e_{3}\), φ(\(e_{3}\))=\(e_{1}\)+\(e_{3}\)
で定義するとき、
φ(x)=6\(e_{1}\)+4\(e_{2}\)+2\(e_{3}\)となるxを
\(e_{1}\),\(e_{2}\),\(e_{3}\)の線型結合で表せ。
ご教授お願い致します。
★希望★完全解答★
x=\(a_{1}\)\(e_{1}\)+\(a_{2}\)\(e_{2}\)+\(a_{3}\)\(e_{3}\) (\(a_{1}\),\(a_{2}\),\(a_{3}\)∈R)とおく
φ(x)=φ(\(a_{1}\)\(e_{1}\)+\(a_{2}\)\(e_{2}\)+\(a_{3}\)\(e_{3}\))
=\(a_{1}\)φ（\(e_{1}\))+\(a_{2}\)φ（\(e_{2}\))+\(a_{3}\)φ（\(e_{3}\))
=\(a_{1}\)(\(e_{1}\)+\(e_{2}\))+\(a_{2}\)(\(e_{2}\)+\(e_{3}\))+\(a_{3}\)(\(e_{1}\)+\(e_{3}\))
=(\(a_{1}\)+\(a_{3}\))\(e_{1}\)+(\(a_{1}\)+\(a_{2}\))\(e_{2}\)+(\(a_{2}\)+\(a_{3}\))\(e_{3}\)
よって、\(a_{1}\)+\(a_{3}\)=6, \(a_{1}\)+\(a_{2}\)=4, \(a_{2}\)+\(a_{3}\)=2 を解いて
\(a_{1}\)=4 , \(a_{2}\)=0 , \(a_{3}\)=2 となるから、
x=4\(e_{1}\)+0\(e_{2}\)+2\(e_{3}\)とかける。
x=a\(e_{1}\)+b\(e_{2}\)+c\(e_{3}\)とおくと
φ(x)=aφ(\(e_{1}\))+bφ(\(e_{2}\))+cφ(\(e_{3}\))
=a(\(e_{1}\)+\(e_{2}\))+b(\(e_{2}\)+\(e_{3}\))+c(\(e_{3}\)+\(e_{1}\))
=(a+c)\(e_{1}\)+(a+b)\(e_{2}\)+(b+c)\(e_{3}\)
であるが，
φ(x)=6\(e_{1}\)+4\(e_{2}\)+2\(e_{3}\)で
\(e_{1}\)，\(e_{2}\)，\(e_{3}\)が基底なので
a+c=6
a+b=4
b+c=2
よって，a=4，b=0，c=2
つまり，x=4\(e_{1}\)+2\(e_{3}\)
x=a\(e_{1}\)+b\(e_{2}\)+c\(e_{3}\)とする。
φ(x)=φ(a\(e_{1}\)+b\(e_{2}\)+c\(e_{3}\))=a(\(e_{1}\)+\(e_{2}\))+b(\(e_{2}\)+\(e_{3}\))+c(\(e_{1}\)+\(e_{3}\))
=(a+c)\(e_{1}\)+(a+b)\(e_{2}\)+(b+c)\(e_{3}\)だから、
a+c=6,a+b=4,b+c=2より、a=4,b=0,c=2
x=4\(e_{1}\)+2\(e_{3}\)