ベクトルの→は省略します。

（１）
とにかく計算すると
ａ・（ａ×ｂ）
＝a1a2b3－a1a3b2＋a2a3b1－a1a2b3＋a1a3b2－a2a3b1
＝０
内積が０ならば直交する。
よって
ａ⊥ａ×ｂ
同様にして
ｂ⊥ａ×ｂ

（２）
ａとｂのなす角θとして
平行四辺形の面積Ｓは
Ｓ＝｜ａ｜｜ｂ｜ｓｉｎθ
ｃｏｓθ＝ａ・ｂ／｜ａ｜｜ｂ｜
途中省略して
Ｓ^2＝（｜ａ｜｜ｂ｜）^2－（ａ・ｂ）^2
＝(a\(1^{2}\)+a\(2^{2}\)+a\(3^{2}\))(b\(1^{2}\)+b\(2^{2}\)+b\(3^{2}\))-(a1b1+a2b2+a3b3\()^{2}\)
ａ×ｂの長さをＬとすると
Ｌ^2＝(a2b3-a3b2\()^{2}\)+(a3b1-a1b3\()^{2}\)+(a1b2-a2b1\()^{2}\)
＝(a\(1^{2}\)+a\(2^{2}\)+a\(3^{2}\))(b\(1^{2}\)+b\(2^{2}\)+b\(3^{2}\))-(a1b1+a2b2+a3b3\()^{2}\)
よって
Ｌ^2＝Ｓ^2だから
Ｌ＝Ｓ