問１
（ｘ²＋ｘ）²＋ｋ（ｘ²＋ｘ）＋１＝０
ｘ²＋ｘ＝ｙとおくと、
ｙ²＋ｋｙ＋１＝０
なお、
ｙ＝ｘ²＋ｘ
　＝（ｘ²＋ｘ＋１／４）－１／４
　＝（ｘ＋１／２）²－１／４
頂点（－１／２，－１／４）の放物線となる。

ｘがすべての実数のとき、ｙ≧－１／４となる。
したがって、
ｘ²＋ｘ≧－１／４……（答）

問２
ｙ≧－１／４のとき
ｙ²＋ｋｙ＋１＝０が実数解になるのは、
判別式Ｄ＝ｋ²－４≧０
∴ｋ≦－２，２≦ｋ

解の公式より、大きい方の解αが－１／４より大きいことが
必要だから
－ｋ＋\(\sqrt{\quad}\)（ｋ²－４）　　１
─────────≧－─
　　　　２　　　　　　４
－２ｋ＋２\(\sqrt{\quad}\)（ｋ²－４）≧－１
２\(\sqrt{\quad}\)（ｋ²－４）≧２ｋ－１
（ｉ）２≦ｋのとき
　　　２ｋ－１≧３＞０より
　　　２乗して
　　　４（ｋ²－４）≧４ｋ²－４ｋ＋１
　　　－１６≧－４ｋ＋１
　　　４ｋ≧１７
　　　∴ｋ≧１７／４
（ii）ｋ≦－２のとき
　　　２ｋ－１≦－５より
　　　（ア）２\(\sqrt{\quad}\)（ｋ²－４）＞５ならば
　　　　　　２乗して
　　　　　　４（ｋ²－４）≧４ｋ²－４ｋ＋１
　　　　　　－１６≧－４ｋ＋１
　　　　　　４ｋ≧１７
　　　　　　ｋ≧１７／４
　　　　　　ｋ≦－２に反するので、答とはならない。
　　　（イ）２\(\sqrt{\quad}\)（ｋ²－４）≦５ならば
　　　　　　２乗して
　　　　　　４（ｋ²－４）≦４ｋ²－４ｋ＋１
　　　　　　－１６≦－４ｋ＋１
　　　　　　４ｋ≦１７
　　　　　　ｋ≦１７／４……①
　　　　　　また、
　　　　　　２\(\sqrt{\quad}\)（ｋ²－４）≦５を２乗して
　　　　　　４（ｋ²－４）≦２５
　　　　　　４ｋ²－１６－２５≦０
　　　　　　４ｋ²－４１≦０
　　　　　　－\(\sqrt{\quad}\)４１／２≦ｋ≦\(\sqrt{\quad}\)４１／２……②
　　　　　　①と②とｋ≦－２より、
　　　　　　∴－\(\sqrt{\quad}\)４１／２≦ｋ≦－２
したがって、
－\(\sqrt{\quad}\)４１／２≦ｋ≦－２、１７／４≦ｋ……（答）