問１

円ｘ²＋ｙ²－６ｘ＋８ｙ＋ｋ＝０
（ｘ²－６ｘ）＋（ｙ²＋８ｙ）＝－ｋ
（ｘ²－６ｘ＋９）＋（ｙ²＋８ｙ＋１６）＝－ｋ＋９＋１６
（ｘ－３）²＋（ｙ＋４）²＝２５－ｋ
中心（３，－４）半径\(\sqrt{\quad}\)（２５－ｋ）の円
２つの円の中心の距離は
\(\sqrt{\quad}\)｛（３）²＋（－４）²｝＝５
２つの円が共有点を持つには
外接的に考えて、半径の和が
１＋\(\sqrt{\quad}\)（２５－ｋ）≧５……①
内接的に考えて、半径の差が
\(\sqrt{\quad}\)（２５－ｋ）－１≦５……②
①と②より
４≦\(\sqrt{\quad}\)（２５－ｋ）≦６
２乗して
１６≦２５－ｋ≦３６
－９≦－ｋ≦１１
∴９≧ｋ≧－１１……（答）

問２

ａ＞０、ｂ＞０より
円（ｘ－ａ）²＋ｙ²＝ｂ²は
中心（ａ，０）半径ｂの円となる。
２つの円の距離は
ａ＝ｂ＋２……①
円と接線ｙ＝ｘ－４の距離はｂだから、
点と直線の距離の公式より
ｘ－ｙ－４＝０と点（ａ，０）との距離だから
｜ａ－０－４｜
───────＝ｂ
\(\sqrt{\quad}\){(1)²＋(-1)²｝
｜ａ－４｜＝ｂ\(\sqrt{\quad}\)２……②
①と②より
（ｉ）ａ≧４のとき
　　　ａ－４＝ｂ\(\sqrt{\quad}\)２
　　　（ｂ＋２）－４＝ｂ\(\sqrt{\quad}\)２
　　　ｂ－２＝ｂ\(\sqrt{\quad}\)２
　　　（１－\(\sqrt{\quad}\)２）ｂ＝２
　　　ｂ＝２／（１－\(\sqrt{\quad}\)２）
　　　ｂ＜０となるので、条件に反する。
（ii）ａ＜４のとき
　　　－ａ＋４＝ｂ\(\sqrt{\quad}\)２
　　　－（ｂ＋２）＋４＝ｂ\(\sqrt{\quad}\)２
　　　－ｂ＋２＝ｂ\(\sqrt{\quad}\)２
　　　（１＋\(\sqrt{\quad}\)２）ｂ＝２
　　　ｂ＝２／（１＋\(\sqrt{\quad}\)２）
　　　ｂ＞０より、条件に適している。
　　　したがって、
　　　ａ＝ｂ＋２
　　　　＝（４＋２\(\sqrt{\quad}\)２）／（１＋\(\sqrt{\quad}\)２）
したがって、
　　（４＋２\(\sqrt{\quad}\)２）　　　　　　２
ａ＝───────　、ｂ＝──────　……（答）
　　（１＋\(\sqrt{\quad}\)２）　　　　　（１＋\(\sqrt{\quad}\)２）