f(x) = 1+logx+1/(2\(\sqrt{\quad}\)x)とする。
f'(x) = \(\frac{1}{x}\) - \(\frac{1}{4}\)x\(\sqrt{\quad}\)x
= (4\(\sqrt{\quad}\)x - 1)/4x\(\sqrt{\quad}\)x
4\(\sqrt{\quad}\)x - 1　⇒　x=\(\frac{1}{16}\)
x＜\(\frac{1}{16}\)の時f'(x)＜0 x＞\(\frac{1}{16}\)の時f'(x)＞0なので
f(x)はx=\(\frac{1}{16}\)の時に最小値をとる。
f(\(\frac{1}{16}\)) = 1-log16+2
= log(\(e^{3}\)/16)
e＞2.7なので
＞ log((2.7\()^{3}\)/16)
＝ log(19.\(\frac{683}{16}\))
＞ log1＝0
∴f(x)=1+logx+1/(2\(\sqrt{\quad}\)x) ＞ 0

f(x)=1+logx+\(\frac{1}{2}\)\(\sqrt{\quad}\)x とおく。
f'(x)=(4\(\sqrt{\quad}\)x-1)/4x\(\sqrt{\quad}\)x
x＞0より 4x\(\sqrt{\quad}\)x＞０だから
f'(x)＝0のとき x=\(\frac{1}{16}\)
よって次の増減表を得る。

x \(\frac{1}{16}\)

f'(x) - 0 ＋

f(x) 減 極小 増

f(\(\frac{1}{16}\))＝3-log16＞0
（\(e^{3}\)≒20.08だから）
よって
f(x)=1+logx+\(\frac{1}{2}\)\(\sqrt{\quad}\)x ＞0