ベクトルの→は省略します。

１：
ａ，ｂのなす角をθとすると
ｃｏｓθ＝（ａ・ｂ）／｜ａ｜｜ｂ｜
＝－１／６
すっきりとθが求まらないけれど・・・
一応
０°＜θ＜１８０°として
θ＝ａｒｃｃｏｓ（－１／６）

２：
求める単位ベクトルを
ｅ＝（ｘ，ｙ，ｚ）とすると
ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2＝１・・・①
ベクトルａ，ｂの両方に垂直だから
ａ・ｅ＝０かつｂ・ｅ＝０
よって
ｘ－ｙ＋２ｚ＝０・・・②
２ｘ＋ｙ－ｚ＝０・・・③
①②③を連立させて解くと
ｘ＝\(\pm\)\(\sqrt{\quad}\)３５／３５
ｙ＝－＋\(\sqrt{\quad}\)３５／７
ｚ＝－＋３\(\sqrt{\quad}\)３５／３５
よって求める単位ベクトルは
\(\pm\)（\(\sqrt{\quad}\)３５／３５，－\(\sqrt{\quad}\)３５／７，－３\(\sqrt{\quad}\)３５／７）
なんか計算怪しいかも・・・