\(x^{2}\)+2x-3=m(x-k)を整理すると
\(x^{2}\)+(2-m)x+mk-3=0…(1)
(1)が実数解を持つので、\(x^{2}\)+(2-m)x+mk-3=0の判別式\(D_{1}\)は
\(D_{1}\)=(2-m\()^{2}\)-4(mk-3)=\(m^{2}\)-4(k+1)m+16≧0…(2)
となる。任意の実数mに対して(2)が成り立つので
\(m^{2}\)-4(k+1)m+16=0の判別式\(D_{2}\)は
\(D_{2}\)=16(k+1\()^{2}\)-64≦0…(3)
となる。
(3)を解くと-3≦k≦1となる。

与式を整理して
ｘ^2＋（２－ｍ）ｘ＋ｍｋ－３＝０
実数解をもつから
この二次方程式の判別式をＤとすると
Ｄ≧０だから
（２－ｍ）^2－４（ｍｋ－３）≧０
整理して
ｍ^2－４（ｋ＋１）ｍ＋１６≧０
平方完成して
｛ｍ－２（ｋ＋１）｝^2－４（ｋ＋１）^2－１６≧０
よって
－４（ｋ＋１）^2－１６≧０
整理して不等式を解くと
－３≦ｋ≦１

平方完成のところは
ｍの二次方程式の判別式≦０でもいいですね。