f(x)=1/(1-\(x^{2}\))のn次導関数は
f^(n)(x)=\(\frac{1}{2}\)*n!*(-1\()^{n}\)*{1/(1+x\()^{n}\)-1/(x-1\()^{n}\)}であることを、
数学的帰納法で証明しなさい。
という問題です。n=1の時は明らかですが、
その次からどう導いていけばよいのかわかりません。
よろしくお願いします。
★希望★答えのみ★
f(x)=1/(1-\(x^{2}\))のn次導関数は
f^(n)(x)=\(\frac{1}{2}\)*n!*(-1\()^{n}\)*{1/(1+x\()^{n}\)-1/(x-1\()^{n}\)}であることを、
数学的帰納法で証明しなさい。
という問題です。n=1の時は明らかですが、
その次からどう導いていけばよいのかわかりません。
よろしくお願いします。
★希望★答えのみ★
実際に確かめていませんが
ｎで成り立つと仮定すると
f^(n)(x)=\(\frac{1}{2}\)*n!*(-1\()^{n}\)*{1/(1+x\()^{n}\)-1/(x-1\()^{n}\)}
が成り立ちますね。
さらに両辺をxで微分してみてください。
ｎ＋１でも成り立つのではないでしょうか？
それで証明は終わりです。
計算が大変そう・・・