問題を解いていて、新たに２題悩んでいる問題が出てきました。
どうか助言をいただければ幸いです。
問）次の２重積分の値を求めなさい。
①∬\(\sqrt{\quad}\)xdxdy（領域は\(x^{2}\)+\(y^{2}\)-x≦0）
極座標を用いて計算したところ、値が０となりました。
果たしてこの値が正解なのかご確認していただければ幸いです。
②∬(x-1)dxdy（領域は\(x^{2}\)+\(y^{2}\)≦2x，x≧1）
これも極座標を用いて計算してみたのですが、途中で計算が詰まって
しまいた。極座標を用いないほうがよいのでしょうか。
★希望★完全解答★
①∬\(\sqrt{\quad}\)xdxdy（領域は\(x^{2}\)+\(y^{2}\)-x≦0）は、
領域\(x^{2}\)+\(y^{2}\)-x≦0上でz(x,y)=\(\sqrt{\quad}\)x≧0です。
(x,y)=(0,0)でのみz(x,y)=\(\sqrt{\quad}\)x=0でそれ以外は、z(x,y)＞0ですから、
二重積分の値が0であることはありません。
極座標を使うならば、-π/2≦θ≦π/2,0≦r≦cosθ
でx=r*cosθを代入し、dxdyをr*drdθにして計算してみると、
\(\frac{8}{15}\)となると思います。
もちろん極座標を用いなくても計算できます。
②∬(x-1)dxdy（領域は\(x^{2}\)+\(y^{2}\)≦2x，x≧1）は、
x≧1の部分があるので、極座標を用いないほうが良いと思います。
-1≦y≦1,1≦x≦1+\(\sqrt{\quad}\)(1-\(y^{2}\))として、計算すると良いのでは？
すると、\(\frac{2}{3}\)となるのではないでしょうか？