三角形ABCの3辺BC,CA,ABを1：2に内分する点をそれぞれL,M,Nとするとき
次のことを証明せよ。
(1)
\(\vec{AL}\)+\(\vec{BM}\)+\(\vec{CN}\)=→0
(2)
三角形ABCの重心Gと三角形LMNの重心G´とは一致する。
★希望★完全解答★
三角形ABCの3辺BC,CA,ABを1：2に内分する点をそれぞれL,M,Nとするとき
次のことを証明せよ。
(1)
\(\vec{AL}\)+\(\vec{BM}\)+\(\vec{CN}\)=→0
(2)
三角形ABCの重心Gと三角形LMNの重心G´とは一致する。
★希望★完全解答★
以下、ベクトルの→を省略します。
計算過程の記述は省略しています。
（１）
ＡＢ＝ａ，ＡＣ＝ｂとします。
ｂ＋２ａ
ＡＬ＝--------
３
２ｂ
ＢＭ＝---- － ａ
３
ａ
ＣＮ＝---- － ｂ
３
よって
ＡＬ＋ＢＭ＋ＣＮ＝０
（２）
Ｇは△ＡＢＣの重心だから
ａ＋ｂ
ＡＧ＝------ ・・・①
３
ａ＋ｂ
ＮＬ＝------
３
２ｂ－ａ
ＮＭ＝--------
３
Ｇ’は△ＬＭＮの重心だから
ＮＬ＋ＮＭ ｂ
ＮＧ’＝---------- ＝ ----
３ ３
よって
ＡＧ’＝ＡＮ＋ＮＧ’
ａ＋ｂ
＝------- ・・・②
３
①②より
ＡＧ＝ＡＧ’
よって
点Ｇと点Ｇ’は一致し
△ＡＢＣの重心Ｇと△ＬＭＮの重心Ｇ’は一致する。