x=b　　　　　　　　　　b
lim　 Σ　f(x)ｈ　＝　∫　f(x)dx
h→0 x=a　　　　　　　　　　a
となることを計算してみます。 具体的にf(x)＝ｘ
2
のとき、ａ＝０，ｂ＝１，ｈ＝\(\frac{1}{n}\)として、 ｈ→０をｎ→∞とする。
x=1
lim　 Σ　ｘ
2
\(\frac{1}{n}\)
n→∞ x=0
＝lim　｛０
2
\(\frac{1}{n}\)＋(\(\frac{1}{n}\))
2
\(\frac{1}{n}\)＋(\(\frac{2}{n}\))
2
\(\frac{1}{n}\)＋(\(\frac{3}{n}\))
2
\(\frac{1}{n}\)＋…
n→∞
…＋((n-1)/n)
2
\(\frac{1}{n}\)｝
＝lim　(\(\frac{1}{n}\))
3
｛０＋１
2
＋２
2
＋３
2
＋……＋(n-1)
2
｝
n→∞
平方数の和の公式より
１
2
＋２
2
＋３
2
＋……＋(n-1)
2
＝(\(\frac{1}{6}\))(n-1)n(2n-1)より、
lim　(\(\frac{1}{n}\))
3
(\(\frac{1}{6}\))(n-1)n(2n-1)
n→∞
＝lim　(\(\frac{1}{6}\))(1-\(\frac{1}{n}\))(2-\(\frac{1}{n}\))
n→∞
＝(\(\frac{1}{6}\))(1-０)(2-０)
＝２／６＝１／３
左辺は１／３となる。右辺は
1　　　　　　　　　　　　1
∫　x
2
dx＝［x
3
／３］＝１／３－０／３＝１／３
0　　　　　　　　　　　　0
したがって、無限和の左辺と定積分の右辺の値がともに１／３となる。