中間テストはとっくの昔に終わってしまったかと思いますが・・・。

＜解法その1＞
1. 三角関数を知っていれば，次のように解くことができます。

\(x^{2}\)+\(y^{2}\)≦1 をみたす (x,y) の集合は原点中心，半径 1 の円板です。
そのような点と原点を結んだ線分が x 軸となす角をθ，
その線分の長さを r=\(\sqrt{\quad}\)(\(x^{2}\)+\(y^{2}\)) とおくと，0≦r≦1，0°≦θ≦360°で，
x=rcosθ，y=rsinθ（極座標表示！）と書けます。
いま r を固定して，θを色々動かしてみましょう。
倍角の公式を用いると
xy=\(r^{2}\)cosθsinθ=(\(r^{2}\)sin 2θ)/2
となり，0°≦2θ≦760°なので sin 2θ は -1 と 1 の間の数を「くまなく」取ります。
よって，xy の取る値は区間 [-\(r^{2}\)/2,\(r^{2}\)/2] 全体です。
r を [0,1] の区間でいろいろ動かすと，\(r^{2}\) も区間 [0,1] 全体を「くまなく」動きます。
したがって，xy の取る値の範囲は，-1 以上 1 以下の実数全てです。

2. 先ほどと同様に x=rcosθ，y=rsinθ とおくと，
\(x^{2}\)-2xy+\(y^{2}\)=\(r^{2}\)(co\(s^{2}\)θ+si\(n^{2}\)θ)-2\(r^{2}\)sinθcosθ=\(r^{2}\)(1-2sinθcosθ)
=\(r^{2}\)(1-sin 2θ).
やはり -1≦sin 2θ≦1 より，0≦1-sin 2θ≦2.
よって 0≦\(x^{2}\)-2xy+\(y^{2}\)≦2\(r^{2}\) ということがわかり，
r が 0 と 1 の間を動くと 2\(r^{2}\) は 0 と 2 の間をくまなく動くので，
結局 \(x^{2}\)-2xy+\(y^{2}\) が取る値の範囲は，0 以上 2 以下の実数全てです。

＜解法その2＞
三角関数を知らない場合の解法の一例です。
制限条件 \(x^{2}\)+\(y^{2}\)≦1 と範囲を調べる式 xy，\(x^{2}\)-2xy+\(y^{2}\) が x と y について
対称なので，
u=x+y, v=xy とおいて考えます。
こうおくと，
\(x^{2}\)+\(y^{2}\)=(x+y\()^{2}\)-2xy=\(u^{2}\)-2v, xy=v, \(x^{2}\)-2xy+\(y^{2}\)=(x+y\()^{2}\)-4xy=\(u^{2}\)-4v となります。
横軸に u 軸，縦軸に v 軸をとって uv 平面にグラフを描きながら考えます。
まず \(x^{2}\)+\(y^{2}\)≦1 の条件から，u と v の動ける範囲は \(u^{2}\)-2v≦1，
すなわち v≧(\(u^{2}\)-1)/2 となり，これは放物線 v=(\(u^{2}\)-1)/2 の「上側」になります。
しかしここで気をつけなければならないのは，u と v の動ける範囲には初めから
制限がある，ということです。
例えば，u=1, v=1 となるかを調べてみましょう。
そうなるためには，x+y=1，xy=1 となる x, y がなければなりません。
y=1-x を xy=1 に代入すると，x は2次方程式 \(x^{2}\)-x+1=0 をみたすことがわかりますが，
この判別式は \(1^{2}\)-4×1=-3＜0 となってこの方程式は解を持ちません
(この方程式をみたす「実数」x がない，という意味です)。
つまり，u=v=1 となることはないのです。
というわけで，y=u-x を xy=v に代入して出てくる2次方程式 \(x^{2}\)-ux+v=0 が解を
持つような範囲しか u, v はもともと動けないことになります。
判別式が 0 以上にならなければならないという条件から，その範囲は \(u^{2}\)-4v≧0，
すなわち v≦\(u^{2}\)/4 となり，放物線 v=\(u^{2}\)/4 の「下側」の部分とわかります。
というわけで，
v≧(\(u^{2}\)-1)/2 と v≦\(u^{2}\)/4 で表されるふたつの領域の共通部分しか u, v は
動けないことになります。
それを uv 平面に図示しておいてから，問題に取り掛かります。
（自分で図を描いて以下の議論を確認してください。）

1. xy の取り得る値の範囲は v の取り得る値の範囲ですから，図を見ると
v が最も小さいのは v=(\(u^{2}\)-1)/2 の頂点 (0, -\(\frac{1}{2}\)) で v=-\(\frac{1}{2}\),
v が最も大きいのは v=(\(u^{2}\)-1)/2 と v=\(u^{2}\)/4 の交点 (\(\pm\)\(\sqrt{\quad}\)2, \(\frac{1}{2}\)) で v=\(\frac{1}{2}\).
図を見ると v はこのふたつの値の間をくまなく取るので，
v の範囲は -\(\frac{1}{2}\) 以上 \(\frac{1}{2}\) 以下となります。
これが xy の取り得る値の範囲です。

2. 今度は \(u^{2}\)-4v の取り得る値の範囲を求めます。k=\(u^{2}\)-4v とおき，
k の値をいろいろ変えて
放物線 v=(\(u^{2}\)-k)/4 のグラフを描き，それが上で求めた u と v の動きうる範囲
と交点を持つようなk の範囲を調べます。
まず，もともと \(u^{2}\)-4v≧0 だったので k≧0 がわかります。
k を 0 から大きくしていくと，v=(\(u^{2}\)-k)/4 のグラフは「下に」おりていきます。
ちょうど放物線 v=(\(u^{2}\)-k)/4 の頂点 (0,-\(\frac{k}{4}\)) と放物線 v=(\(u^{2}\)-1)/2 の
頂点 (0,-\(\frac{1}{2}\)) が重なるところまで，
つまり k=2 となるところまで交点を持ち続け，k がそれよりも大きくなると交点を
持たなくなります。
よって k の範囲は 0 から 2 まで，ということがわかり，＜解法1＞で求めたのと
同じ答えを得ます。

\(x^{2}\)+\(y^{2}\)≦1より
x=acosθ，Y=asinθ(0≦a≦1，0≦θ≦2π，aとθは独立)－(*)とおける。
よってxy=\(a^{2}\)sinθcosθ
　　　　=\(\frac{1}{2}\)×\(a^{2}\)sin2θ
ここで(*)から、0≦\(a^{2}\)≦1,-1≦sin2θ≦1となり、
　　　-1≦asin2θ≦1
-\(\frac{1}{2}\)≦\(\frac{1}{2}\)×asin2θ≦\(\frac{1}{2}\)
故に-\(\frac{1}{2}\)≦xy≦\(\frac{1}{2}\)
また\(x^{2}\)-2xy+\(y^{2}\)=(y-x\()^{2}\)
　　　　　　　　=\(a^{2}\)(sinθ-cosθ\()^{2}\)
　　　　　　　　=2\(a^{2}\)si\(n^{2}\)(θ-π/4)
ここで(*)から、0≦2\(a^{2}\)≦2,0≦si\(n^{2}\)(θ-π/4)≦1となり、
0≦2\(a^{2}\)si\(n^{2}\)(θ-π/4)≦2
故に0≦\(x^{2}\)-2xy+\(y^{2}\)≦2