よろしくお願いします。
二つの放物線
C1：y=ax2(a>0)（axの二乗です）
C2:y=-\(\frac{1}{2}\)x2＋6（マイナス二分の一xの二乗＋6)
によって囲まれた部分にx軸、ｙ軸に平行な辺をもつ長方形ABCDが
内接している。また、C1,C2の二つの共有点をP,Qとするとき、その
y座標は4である。ただし、点A,B,Pはいずれも第一象限にあり、点B
は点Aより上方にあるものとする。
(1)放物線C1,C2の共有点P,Qの座標とaの値
(2)点Aのx座標とtとする。
(i)長方形ABCDが直線PQによって分けられる二つの部分の面積を
S,T(S>T)とするとき、その面積比を最も簡単な整数の比で
あらわすと？
(ii)長方形ABCDの周の長さをlとするとlはtがどんなとき最小値
になり、最大値になるか。
★希望★完全解答★
(1)
a\(x^{2}\)=(-\(\frac{1}{2}\))\(x^{2}\)+6を解いて
\(x^{2}\)=12/(2a+1)・・・①
交点のy座標が4だから
(-\(\frac{1}{2}\))(\(\frac{12}{2}\)a+1)+6=4
これを解いて
a=1・・・（答）
①より
\(x^{2}\)=4よってx=\(\pm\)2
したがって
P(2,4),Q(-2,4)・・・（答）
(2)
(i)
A,Bの座標は
A(t,\(t^{2}\)),B(t,(-\(\frac{1}{2}\))\(t^{2}\)+6)
また BC=2t
このとき 0＜t＜2
線分PQによって分けられる
上の部分の面積は
2t{(-\(\frac{1}{2}\))\(t^{2}\)+6-4}=-\(t^{3}\)+4t
下の部分の面積は
2t(4-\(t^{2}\))=-2\(t^{3}\)+8t
(-2\(t^{3}\)+8t)-(-\(t^{3}\)+4t)=-t(t+2)(t-2)>0
なぜなら 0＜t＜2 だから
S>Tだから
S=-2\(t^{3}\)+8t,T=-\(t^{3}\)+4t
よって
S:T=2:1・・・（答）
(ii)
lは見にくいので、Lにします。
AB+BC=L/2よりL=2(AB+BC)
AB=(-\(\frac{1}{2}\))\(t^{2}\)+6-\(t^{2}\),BC=2t
ゆえに
L=-3\(t^{2}\)+4t+12
=-3{t-(\(\frac{2}{3}\))}^2+\(\frac{40}{3}\)
【グラフを書いてみてくださいね】
0＜t＜2より
t=\(\frac{2}{3}\)のときLの最大値\(\frac{40}{3}\)
最小値はなし。
※※
0≦t≦2ならばt=2のとき最小値8となりますが
t=0,t=2のときは、長方形ABCDを作ることはできません。
t=0のときは
AとD、BとCが一致してしまいます。
t=2のときは
AとB、CとDが一致してしまいます。