(1)
\(V_{n}\)の基底のひとつは{1,x,…,\(x^{n}\)}だから、dim\(V_{n}\)=n+1

(2)
示すべきことは
f,gを\(V_{n}\)の元とすると
φ(f+g)=φ(f)+φ(g)
kを実数とするときφ(kf)=kφ(f)

f(x)=Σ_(i=0\()^{n}\){(\(a_{i}\))\(x^{i}\)}、g(x)=Σ_(i=0\()^{n}\){(\(b_{i}\))\(x^{i}\)}とおくと

φ(f+g)(x)=f(x)
=Σ_(i=0\()^{n}\)[{(\(a_{i}\))+(\(b_{i}\))}\(x^{i}\)]Σ_(i=0\()^{n}\){(\(a_{i}\))\(x^{i}\)}+Σ_(i=0\()^{n}\){(\(b_{i}\))\(x^{i}\)}
={φ(f)+φ(g)}(x)

φ(kf)(x)=Σ_(i=0\()^{n}\)[{k(\(a_{i}\))}\(x^{i}\)]=kΣ_(i=0\()^{n}\){(\(a_{i}\))\(x^{i}\)}=kφ(f)(x)となる。

よって、φは\(V_{n}\)からV_(n-1)への線形写像である。

(3)
V_(n-1)の任意の元f(x)=Σ_(i=0)^(n-1){(\(a_{i}\))\(x^{i}\)}をとる。

以下のような\(V_{n}\)の元g(x)をとる。
g(x)=Σ_(i=1)^(n)[{(\(a_{i}\))/i}\(x^{i}\)]
φ(g)(x)=Σ_(i=0)^(n-1){(\(a_{i}\))\(x^{i}\)}=f(x)
となるので、φは全射である。よってImφ=V_(n-1)

h∈kerφをとる。
h(x)=f=Σ_(i=0\()^{n}\){(\(c_{i}\))\(x^{i}\)}

φ(h)(x)=Σ_(i=1\()^{n}\){i*(\(c_{i}\))}x^(i-1)が恒等的に0となるので、
\(c_{1}\)=\(c_{2}\)=…=\(c_{n}\)=0となる。
したがって、h(x)=\(c_{0}\)(定数項)となる。

よって、kerφ={c}
(ただしcは任意の実数)となる。