等式(４＋２\(\sqrt{\quad}\)２)ｘ＋(\(\sqrt{\quad}\)２－３)ｙ＝\(\sqrt{\quad}\)２－１を満たす有理数ｘ、ｙの値を
求めるとき、次の問いに答えなさい。ただし、\(\sqrt{\quad}\)２が無理数であることは用
いてよいものとする。
(1)有理数ｐ、ｑについて、命題「ｐ＋ｑ\(\sqrt{\quad}\)２＝０⇒ｐ＝０かつｑ＝０」を
背理法で証明しなさい
(2)(1)を用いて、有理数ａ、ｂ、ｃ、ｄについて、
命題「ａ＋ｂ\(\sqrt{\quad}\)２＝ｃ＋ｄ\(\sqrt{\quad}\)２⇒ａ＝ｃかつｂ＝ｄ」を証明しなさい
という問題が全くわかりません。
先生に(1)はｑが０でないとすると\(\sqrt{\quad}\)２が無理数であることに矛盾があること
を使い、(2)は(ａ－ｃ)＋(ｂ－ｄ)\(\sqrt{\quad}\)２＝０で(1)を適用するように言われま
した。どなたか教えてください。
★希望★完全解答★
（１）
ｑ≠０であるとすると
ｐ＋ｑ\(\sqrt{\quad}\)２＝０だから
\(\sqrt{\quad}\)２＝－ｐ／ｑ・・・①
\(\sqrt{\quad}\)２は無理数
ｐ，ｑは有理数だから
－ｐ／ｑも有理数
よって①は
無理数＝有理数を示している
これは矛盾する
よって
ｑ＝０でなければならない。
このとき
ｐ＝０
（２）
ａ＋ｂ\(\sqrt{\quad}\)２＝ｃ＋ｄ\(\sqrt{\quad}\)２より
（ａ－ｃ）＋（ｂ－ｄ）\(\sqrt{\quad}\)２＝０
（１）で
ｐ＝ａ－ｃ
ｑ＝ｂ－ｄ と考えれば
ａ－ｃ＝０，ｂ－ｄ＝０
すなわち
ａ＝ｃ，ｂ＝ｄ
(４＋２\(\sqrt{\quad}\)２)ｘ＋(\(\sqrt{\quad}\)２－３)ｙ＝\(\sqrt{\quad}\)２－１
については
式を整理して
（４ｘ－３ｙ＋１）＋（２ｘ＋ｙ－１）\(\sqrt{\quad}\)２＝０
（２）の結果から
４ｘ－３ｙ＋１・・・②
２ｘ＋ｙ－１・・・・③
②③を連立させて解くと
ｘ＝１／５，ｙ＝３／５・・・答