２次関数より　ａは０でない
y=ax＾2+(2a+2)x-3a+1
解をα　,β　（α＞β）とすると
解の公式
α＋β＝－（２ａ＋２）／ａ　・・・・（あ）
αβ＝（－３ａ＋１）／ａ・・・・・・（い）
今回はαーβ＝\(\sqrt{\quad}\)１９とわかっているので
　　２乗し　α＾２＋β＾２－２αβ＝１９
　　　　　　これは
　　　　　　（α＋β）＾２－４αβ＝１９と書き換え
（あ）と（い）を代入
｛－（２ａ＋２）／ａ｝＾２
　　　　　－４（－３ａ＋１）／ａ　＝１９
｛（２ａ＋２）＾２／ａ＾２｝＋（１２ａ－４）／ａ
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝１９
両辺ａ＾２倍
４ａ＾２＋８ａ＋４＋１２ａ＾２－４ａ＝１９ａ＾２
－３ａ＾２＋４ａ＋４＝０
　３ａ＾２－４ａ－４＝０
　（３ａ＋２）（ａ－２）＝０
　　　ａ＝２,　－２／３

①ｘ軸と２交点で交わる⇒異なる二つの解をもつ⇒判別式＞０
②ｘ軸との２交点の長さが\(\sqrt{\quad}\)１９⇒二つの解の差が\(\sqrt{\quad}\)１９

①については
Ｄ／４＝（ａ＋１）^2－ａ（－３ａ＋１）
＝４ａ^2＋ａ＋１
ところが
４ａ^2＋ａ＋１＝４｛ａ＋（１／８）｝^2＋１５／１６
だからａの値に関係なくＤ／４＞０
つまり必ずｘ軸と異なる２点で交わる。

②については
異なる二つの解をα，β（α＞β）とすると
解と係数の関係から
α＋β＝－（２ａ＋２）／ａ
αβ＝（－３ａ＋１）／ａ
α－β＝\(\sqrt{\quad}\)１９だから
（α－β）^2＝（α＋β）^2－４αβ＝１９
よって
｛－（２ａ＋２）／ａ｝^2－４（－３ａ＋１）／ａ＝１９
これを解いて
ａ＝－２／３またはａ＝２・・・答