図で考えるしかなさそうですね。
頂点の座標に O(0,0), A(1,2), B(0,2) と名前をつけておきます。
放物線 y=(x-2\()^{2}\)-2 の頂点の座標は (p,-2) で，
p の値によらずに，x 軸に平行な直線 y=-2 上にあります。
p の値を増やしていくと，頂点が直線 y=-2 上を左から右に動いていきます。
そこで，xy 平面に直線 y=-2 を引いて，それ上に頂点がある下に凸な
放物線 y=(x-p\()^{2}\)-2 を左から右にスライドさせて考えます。
まず，放物線が三角形のかなり左にあるところから始めましょう。
右にスライドさせていくと，まず放物線の右側の部分がBと交わります。
さらに右にスライドさせていくと，放物線は三角形の内部を通過しますが，
Aを通り過ぎてしまうと交点がなくなってしまいます。
さらに右にスライドさせていくと，今度は放物線の左側の部分がOにひっかかり，
それからしばらく三角形の内部を通過する状態が続き，やはりAを通り過ぎてしまうと
もう交点をもたなくなります。
というわけで，放物線がO, A, B を通るときの p の値が鍵になることが
わかりましたので，それらを求めることにします。
　Aを通るとき，2=(1-p\()^{2}\)-2 すなわち \(p^{2}\)-2p-4=0 より p=1\(\pm\)\(\sqrt{\quad}\)5.
　Bを通るとき，2=(0-p\()^{2}\)-2 より \(p^{2}\)=4，よって p=\(\pm\)2.
　Oを通るとき，0=(0-p\()^{2}\)-2 より \(p^{2}\)=2，よって p=\(\pm\)\(\sqrt{\quad}\)2.
よって，先ほどの議論より
　p＜-2 のとき交点なし，
　p=-2 のときBで交わる，
　-2＜p＜1-\(\sqrt{\quad}\)5 で三角形の内部を通過する，
　p=1-\(\sqrt{\quad}\)5 のときAで交わる，
　1-\(\sqrt{\quad}\)5＜p＜\(\sqrt{\quad}\)2 のとき交点なし，
　p=\(\sqrt{\quad}\)2 のとき原点Oで交わる，
　\(\sqrt{\quad}\)2＜p＜1+\(\sqrt{\quad}\)5 で三角形の内部を通過する，
　p=1+\(\sqrt{\quad}\)5 のときAで交わる，
　1+\(\sqrt{\quad}\)5＜p のとき交点なし。
答えは，-2≦p≦1-\(\sqrt{\quad}\)5 または \(\sqrt{\quad}\)2≦p≦1+\(\sqrt{\quad}\)5.

Ｏ(0,0),Ａ(1,2),Ｂ(0,2)とし、
Ｃ:y=(x-p\()^{2}\)-2を陰関数表示した(x-p\()^{2}\)-y-2=0についてf(x,y)=(x-p\()^{2}\)-y-2とする。
Ｃの頂点はy=-2上に存在するので△ＯＡＢとＣが交わるのならばＣは辺ＯＡ
又は辺ＯＢを通る。正領域と負領域の関係から
①Ｃが辺ＯＡを通るとき
　　(0,0)と(1,2)が異なる領域に存在するので
　　　　　　　　f(0,0)・f(1,2)≦0
　{(0-p\()^{2}\)-0-2}{(1-p\()^{2}\)-2-2}≦0
　　　　　　(\(p^{2}\)-2)(\(p^{2}\)-2p-3)≦0
　　　(p+\(\sqrt{\quad}\)2)(p-\(\sqrt{\quad}\)2)(p-3)(p+1)≦0
　　よって-\(\sqrt{\quad}\)2≦p≦-1,\(\sqrt{\quad}\)2≦p≦3
②Ｃが辺ＯＢを通るとき
　　(0,0)と(0,2)が異なる領域に存在するので
　　　　　　　　f(0,0)・f(0,2)≦0
　{(0-p\()^{2}\)-0-2}{(0-p\()^{2}\)-2-2}≦0
　　 　　　　　 (\(p^{2}\)-2)(\(p^{2}\)-4)≦0
　　　(p+\(\sqrt{\quad}\)2)(p-\(\sqrt{\quad}\)2)(p-2)(p+2)≦0
　　よって-2≦p≦-\(\sqrt{\quad}\)2,\(\sqrt{\quad}\)2≦p≦2
①②をあわせて
　　　　　-2≦p≦-1,\(\sqrt{\quad}\)2≦p≦3