残念ながら、メールを見たのが２０日の２１時なので、
宿題に間に合いませんでしたね。

図に示したように、正四面体ＡＢＣＤの１辺ａ、球の半径ｂ
とすると、

ＡＯの延長線と△ＢＣＤの交点をＥとすると、
∠ＢＥＣ＝１２０°
（∵ＡＢ＝ＡＣ＝ＡＤ、ＯＢ＝ＯＣ＝ＯＤより、
ＥＢ＝ＥＣ＝ＥＤ　また、ＢＣ＝ＣＤ＝ＤＢ）
したがって、
　　　　　　１２０°　ａ　　　　　　　　ａ
ＥＢ・ｓｉｎ───＝───より、ＥＢ＝───
　　　　　　　２　　　２　　　　　　　\(\sqrt{\quad}\)３

△ＯＢＥにおいて、三平方の定理より、
ＯＥ²＝ｂ²－ＥＢ²
　　　＝ｂ²－ａ²／３……①

また、△ＡＢＥにおいて、三平方の定理より、
ＡＥ²＝ａ²－ＥＢ²
　　　＝ａ²－ａ²／３
　　　＝（２／３）ａ²
平方根をとり、ＡＥ＞０より、
ＡＥ＝\(\sqrt{\quad}\)（２／３）ａ……②

したがって、半径ｂ＝ＡＯ＝ＡＥ－ＯＥより
平方して、
ｂ²＝（ＡＥ－ＯＥ）²
　　＝ＡＥ²－２ＡＥ・ＯＥ＋ＯＥ²
　　＝（２／３）ａ²－２ＡＥ・ＯＥ＋ｂ²－ａ²／３
２ＡＥ・ＯＥ＝（１／３）ａ²
②より、
　　　１・\(\sqrt{\quad}\)３・ａ²
ＯＥ＝────────
　　　３・２・\(\sqrt{\quad}\)２・ａ
　　＝（１／\(\sqrt{\quad}\)２４）ａ……③

①と③より
ＯＥ²＝ｂ²－ａ²／３
ＯＥ²＝ａ²／２４
したがって、
ｂ²＝（９／２４）ａ²
平方根を取り、ｂ＞０、ａ＞０より、
ｂ＝（３／\(\sqrt{\quad}\)２４）ａ……④

∠ＡＯＢ＝θとすると、∠ＢＯＥ＝π－θ、③④より
　　　　　　　　　ＯＥ　（１／\(\sqrt{\quad}\)２４）ａ　（１／\(\sqrt{\quad}\)２４）ａ
ｃｏｓ（π－θ）＝──＝────────＝────────
　　　　　　　　　ＯＢ　　　　　ｂ　　　　（３／\(\sqrt{\quad}\)２４）ａ
＝１／３
－ｃｏｓθ＝１／３
∴ｃｏｓθ＝－１／３……（答）
θを関数電卓で求めると、約１０９．５°となる。