(1)
(a-b)/(b+c)=(b-c)/(c+a)=(c-a)/(a+b)=sとおくと
a-b=(b+c)s…{1}
b-c=(c+a)s…{2}
c-a=(a+b)s…{3}
(式{1}+式{2}+式{3})÷2より
0=(a+b+c)s…{4}
{4}よりs=0あるいはa+b+c=0
s=0と仮定する
{1}に代入するとa=bとなってa,b,cが互いに異なることに反する。
よってa+b+c=0

(2)
a+b+c=0よりb+c=-a
(a-b)/(b+c)=(a-b)/(-a)=\(\frac{b}{a}\)-1
よって
(a-b)/(b+c)=\(\frac{b}{a}\)-1…{5}
同様に
(b-c)/(c+a)=\(\frac{c}{b}\)-1…{6}
(c-a)/(a+b)=\(\frac{a}{c}\)-1…{7}
{5}、{6}、{7}を
(a-b)/(b+c)=(b-c)/(c+a)=(c-a)/(a+b)
に代入して整理すると
\(\frac{b}{a}\)=ｃ/b=\(\frac{a}{c}\)
\(\frac{b}{a}\)=ｃ/b=\(\frac{a}{c}\)=kとおくと
b=ak…{8}
c=bk…{9}
a=ck…{10}
式{8}×式{9}×式{10}÷abcより
\(k^{3}\)=1…{11}
(k-1)(\(k^{2}\)+k+1)=0
k=1あるいは\(k^{2}\)+k+1=0
k=1と仮定する。
{8}に代入するとa=bとなってa,b,cが互いに異なることに反する。
よって\(k^{2}\)+k+1=0

(3)
(2)の{11}より
\(k^{3}\)=1となるので
\(k^{2000}\)=(\(k^{3}\)\()^{666}\)*\(k^{2}\)=\(k^{2}\)
(2)でやったように\(k^{2}\)+k+1=0だから
\(k^{2}\)=-k-1
よって\(k^{2000}\)=-k-1

(4)
(\(a^{2}\))/(bc)+(\(b^{2}\))/(ca)+(\(c^{2}\))/(ab)を通分して
(\(a^{2}\))/(bc)+(\(b^{2}\))/(ca)+(\(c^{2}\))/(ab)=(\(a^{3}\)+\(b^{3}\)+\(c^{3}\))/(abc)

\(a^{3}\)+\(b^{3}\)+\(c^{3}\)=\(a^{3}\)+\(b^{3}\)+\(c^{3}\)-3abc+3abc=(a+b+c)(\(a^{2}\)+\(b^{2}\)+\(c^{2}\)-ab-bc-ca)+3abc
a+b+c=0だから
\(a^{3}\)+\(b^{3}\)+\(c^{3}\)=3abc

よって(\(a^{3}\)+\(b^{3}\)+\(c^{3}\))/(abc)=(3abc)/(abc)=3

途中一部計算省略します。
(1)
(a-b)/(b+c)=(b-c)/(c+a)=(c-a)/(a+b)=p とおくと
a,b,cは互いに異なるから p≠0
a-b=p(b+c)
b-c=p(c+a)
c-a=p(a+b)
辺々加えると
0=2p(a+b+c)
p≠0 より
a+b+c=0・・・（答）

(2)
\(\frac{b}{a}\)=k より b=ak
(1)よりa+b+c=0だから
a+ak+c=0
∴c=-a-ak
(a-b)/(b+c)=k-1
(b-c)/(c+a)=-(2k+1)/k
(c-a)/(a+b)=-(k+2)/(k+1)
条件式から
k-1=-(2k+1)/k=-(k+2)/(k+1)
前半２式も後半２式も同じ結果になって
\(k^{2}\)+k+1=0・・・（答）

(3)
\(k^{2}\)+k+1=0より
\(k^{3}\)-1=(k-1)(\(k^{2}\)+k+1)=0
∴\(k^{3}\)=1
\(k^{2000}\)
=\(k^{1998}\)･\(k^{2}\)
=(\(k^{3}\)\()^{666}\)･\(k^{2}\)
=\(k^{2}\)
=-k-1・・・（答）
あるいは
\(k^{2}\)+k+1=0 を解いて
k=(-1\(\pm\)i\(\sqrt{\quad}\)3)/2
これを極形式に直して
ド・モアブルの定理を活用してもできます。

(4)
(\(a^{2}\))/(bc)+(\(b^{2}\))/(ca)+(\(c^{2}\))/(ab)
=(\(a^{3}\)+\(b^{3}\)+\(c^{3}\))/abc
ここで
a+b+c=0より
\(a^{3}\)+\(b^{3}\)+\(c^{3}\)-3abc
=(a+b+c)(\(a^{2}\)+\(b^{2}\)+\(c^{2}\)-ab-bc-ca)
=0
∴\(a^{3}\)+\(b^{3}\)+\(c^{3}\)=3abc
よって
(\(a^{3}\)+\(b^{3}\)+\(c^{3}\))/abc=3
すなわち
(\(a^{2}\))/(bc)+(\(b^{2}\))/(ca)+(\(c^{2}\))/(ab)=3・・・（答）