(1)
f'(x) = 3 \(x^{2}\) - 3 a.
a ＜ 0 のとき、f'(x) ≠ 0 より不適。
a ≧ 0 のとき、f'(x) = 0 ⇔ x = \pm \sqrt{a},
f(-\sqrt{a}) = a + 2a\sqrt{a} ＞ 0,
f(\sqrt{a}) = a (1 - 2\sqrt{a}) ＜ 0 が必要十分。
したがって a ＞ \(\frac{1}{4}\). □

(2)
(t, \(t^{3}\) - a \(t^{2}\)) における接線の式は
y - (\(t^{3}\) - a \(t^{2}\)) = (3 \(t^{2}\) - 2 a t)(x - t) … (*),
これが (0, 1) を通る必要十分条件は g(t) := 2 \(t^{3}\) - a \(t^{2}\) + 1 = 0.
これが 2 つの実数解を持つ必要十分条件は、二重根を持つこと。
g'(t) = 2 t (3 t - a) = 0 ⇔ t = 0, a / 3.
t = 0 は g(t) の零点ではない。よって t = a / 3 が零点。
2 (a / 3\()^{3}\) - a (a / 3\()^{2}\) + 1 = 0 ⇔ a = 3.
接線の式は、(*) に a = 3, t = 0, 1 を代入したものである。□