（問２）
①代数方程式の有理数解は，x=\(\pm\)(定数項の約数)/(最高次係数の約数)という
　性質があります．

よって，この問題では，x=\(\pm\)(40の約数)/(1の約数)=(40の約数)という有理数解
をもち得る．
すると，x=\(2^{n}\)という解をもつなら，n=1,2,3しか考えられません．
これらのnで，解になるか確かめてみましょう．
しかし，正直に計算するのは少ししんどいので，少し楽をしましょう．

この場合は，x＞0に対して，\(x^{3}\)-18\(x^{2}\)-38x-40＜\(x^{3}\)-18\(x^{2}\)であるが，
x=2,4,8に対して，\(x^{3}\)-18\(x^{2}\)＜0…(☆)なので，
x=\(2^{n}\)に対して，\(x^{3}\)-18\(x^{2}\)-38x-40=0にはなりえない．

②1つの有理数解を見つければ一瞬です．
x=1,2,4,5,8は①の議論で解にはなりえない．

また，同様にx＜0に有理数解があるか探してみると，
x=-y(y＞0)とおくと
-\(y^{3}\)-18\(y^{2}\)+38y-40=0なので，y=1,2,4,5,8,10…を代入すると，
明らかに-\(y^{3}\)-18\(y^{2}\)+38y-40＜0になりそうなので，
解はないだろうと思える．

よって，有理数解になりえるのは，(☆)の議論よりx=20,40くらい
しかないとわかる．
x=20のとき，\(x^{3}\)=8000，18\(x^{2}\)+38x+40=18*400+38*20+2*20=8000とx=20は解．

\(x^{3}\)-18\(x^{2}\)-38x-40=(x-20)(\(x^{2}\)+2x+2)=0を解くので
x=20,-1\(\pm\)iが答え．